设A为n阶矩阵，证明：r(A*)＝，其中n≥2．

admin2018-01-23 44

问题设A为n阶矩阵，证明：r(A^*)＝

，其中n≥2．

选项

答案AA^*＝A^*A＝｜A｜E．当r(A)＝n时，｜A｜≠0，因为｜A^*｜＝｜A｜^n－1，所以｜A^*｜≠0，从而r(A^*)＝n；当r(A)＝n－1时，由于A至少有一个n－1阶子式不为零，所以存在一个M_ij≠0，进而 A_ij≠0，于是A^*≠O，故r(A^*)≥1，又因为｜A｜＝0，所以AA^*＝｜A｜E＝O，根据矩阵秩的性质有r(A)＋r(A^*)≤n，而r(A)＝n－1，于是得r(A^*)≤1，故r(A^*)＝1；当r(A)＜n－1时，由于A的所有n－1阶子式都为零，所以A^*＝O，故r(A^*)＝0．

解析

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