设A为n阶矩阵，A11≠0．证明：非齐次线性方程组AX＝b有无穷多个解的充分必要条件是A*b＝0．

admin2018-01-23 29

问题设A为n阶矩阵，A₁₁≠0．证明：非齐次线性方程组AX＝b有无穷多个解的充分必要条件
是A^*b＝0．

选项

答案设非齐次线性方程组AX＝b有无穷多个解，则r(A)＜n，从而｜A｜＝0，于是A^*b＝A^*AX＝｜A｜X＝0．反之，设A^*b＝0，因为b≠0，所以方程组A^*X＝0有非零解，从而r(A^*)＜n，又A₁₁≠ 0，所以r(A^*)＝1，且r(A)＝n－1．因为r(A^*)＝1，所以方程组A^*X＝0的基础解系含有n－1个线性无关的解向量，而 A^*A＝0，所以A的列向量组α₁，α₂，…，α_n为方程组A^*X＝0的一组解向量．由A₁₁≠0，得α₂，…，α_n线性无关，所以α₂，…，α_n是方程组A^*X＝0的基础解系．因为A^*b＝0，所以b可由α₂，…，α_n线性表示，也可由α₁，α₂，…，α_n线性表示，故r(A)＝ [*]＝n－1＜n，即方程组AX＝b有无穷多个解．

解析

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考研数学三

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设A为n阶矩阵，A11≠0．证明：非齐次线性方程组AX＝b有无穷多个解的充分必要条件是A*b＝0．

考研数学三

已知函数y=e2x+(x+1)ex是二阶常系数线性非齐次方程的解．求方程通解及方程．

证明(其中a≠b)三对角行列式

设行列式不具体计算D，试利用行列式的定义证明D=0．

设A、B均为3阶矩阵，E是3阶矩阵，已知AB=2A+B，，则(A—E)-1=_______．

设周期函数f(x)在(一∞，+∞)内可导，周期为4，又，则曲线y=f(x)在点(5，f(5))处的切线斜率为

设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，又f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=g’’(ξ)．

设矩阵A的伴随矩阵矩阵B满足关系式．ABA-1=BA-1+3E，求矩阵B．

设函数f(x)在[0，1]上连续．在开区间(0，1)内大于零，并且满足又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形s的面积值为2，求函数y=f(x)，并问a为何值时．图形S绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小．

就a，b的不同取值情况讨论方程组何时无解、何时只有唯一解、何时有无数个解?在有无数个解时求其通解．

元代杂剧的代表人物有_、、___。

Fairbanks认为阻塞性睡眠呼吸暂停综合征的主要原因是

双方阅读租赁合同过程中，房地产经纪人对合同有关条款进行解释，主要包括()。

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压力容器运行时，通过测温仪表测得的介质温度称为压力容器的()。

有关审计抽样的下列表述中，注册会计师不能认同的有(　　)。在进行控制测试中，注册会计师如认为抽样结果无法达到其对所测试的内部控制的预期信赖程度，应当考虑(　　)。

会计监督分为()。

Predictionsoflargepopulationsofrobotsinindustryhaveyettocometrue.Foradecadeormore,manufacturersofbigrobots

PacificShotsMarch5and6From9a.m.to5p.m.Location:TheLandienTowerExhibitCenterTheOmegaScubaClubinvitesyout

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设函数f(x)在[0，1]上连续．在开区间(0，1)内大于零，并且满足又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形s的面积值为2，求函数y=f(x)，并问a为何值时．图形S绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小．

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