若x>一1,证明: 当0<α<1时,有(1+x)α<1+αx;当α<0或α>1时,有(1+x)α>1+αx.

admin2017-12-23  23

问题 若x>一1,证明:
  当0<α<1时,有(1+x)α<1+αx;当α<0或α>1时,有(1+x)α>1+αx.

选项

答案令f(x)=(1+x)α则有f’(x)=α(1+x)α一1,f"(x)=α(α—1)(1+x)α一2, 由f(x)的泰勒展开式 f(x)=f(0)+f(0)x+[*],ξ∈(0,1), 可知当x>一1,0<α<1时,α(α一1)<0,1+ξ>0.故[*]<0,所以f(x)α<1+αx. 同理可证当x>一1,α<0或α>1时,有(1+x)α>1+αx.

解析
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