已知α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量,α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量,那么矩阵P不能是( )

admin2020-03-01  25

问题 已知α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量,α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量,那么矩阵P不能是(    )

选项 A、(α1,一α2,α3).
B、(α1,α23,α2一2α3).
C、(α1,α3,α2).
D、(α12,α1—α2,α3).

答案D

解析
P=(α123),则有AP=PA.即(Aα1,Aα2,Aα3)=(α1α1,α2α2,α3α3).可见αi是矩阵A属于特征值αi(i=1,2,3)的特征向量,又因矩阵P可逆,因此α123线性无关.若α是属于特征值λ的特征向量,则一α仍是属于特征值λ的特征向量,故选项A正确.若α,β是属于特征值λ的特征向量,则2α+3β,…仍是属于特征值A的特征向量.本题中,α2,吧是属于λ=5的线性无关的特征向量,故α23,α2一2α3仍是λ=5的特征向量,并且α23,α2一2α3线性无关,故选项B正确.对于选项C,因为α2,α3均是λ=5的特征向量,所以α2与α3谁在前谁在后均正确.故选项C正确.由于α1,α2是不同特征值的特征向量,因此α12,α1一α2不再是矩阵A的特征向量,故选项D错误.所以应选D.
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