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  3. 已知α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不能是( )

已知α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不能是( )

admin2020-03-01  31
问题 已知α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不能是(    )
选项 A、(α1，一α2，α3)．
B、(α1，α2+α3，α2一2α3)．
C、(α1，α3，α2)．
D、(α1+α2，α1—α2，α3)．
答案D
解析 若
P=(α1,α2,α3)，则有AP=PA．即(Aα1,Aα2,Aα3)=(α1α1，α2α2，α3α3)．可见αi是矩阵A属于特征值αi(i=1，2，3)的特征向量，又因矩阵P可逆，因此α1,α2,α3线性无关．若α是属于特征值λ的特征向量，则一α仍是属于特征值λ的特征向量，故选项A正确．若α，β是属于特征值λ的特征向量，则2α+3β，…仍是属于特征值A的特征向量．本题中，α2，吧是属于λ=5的线性无关的特征向量，故α2+α3，α2一2α3仍是λ=5的特征向量，并且α2+α3，α2一2α3线性无关，故选项B正确．对于选项C，因为α2，α3均是λ=5的特征向量，所以α2与α3谁在前谁在后均正确．故选项C正确．由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α2，α1一α2不再是矩阵A的特征向量，故选项D错误．所以应选D．
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考研数学二

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