证明：实对称矩阵A可逆的充分必要条件为存在实矩阵B，使得AB+BTA正定．

admin2019-06-28 41

问题证明：实对称矩阵A可逆的充分必要条件为存在实矩阵B，使得AB+B^TA正定．

选项

答案必要性取B=A^一1，则AB+B^TA=E+(A^一1)^TA=2E，所以AB+B^TA是正定矩阵．充分性用反证法．若A不是可逆矩阵，则r(A)＜N，于是存在实向量X≠0使得Ax。=0．因为A是实对称矩阵，B是实矩阵，于是有 x₀(AB+B^TA)x₀=(Ax₀)^TBx₀+x₀^TB^T(Ax₀)=0，这与AB+B^TA是正定矩阵矛盾．

解析

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