设A，B均为n阶矩阵，A可逆，且A与B相似，则下列命题中正确的个数为( ) ①AB与BA相似；②A2与B2相似； ③AT与BT相似；④A－1与B－1相似。

admin2019-01-22 32

问题设A，B均为n阶矩阵，A可逆，且A与B相似，则下列命题中正确的个数为( )
①AB与BA相似；②A²与B²相似； ③A^T与B^T相似；④A^－1与B^－1相似。

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案D

解析因为A与B相似，所以存在可逆矩阵P，使得P^－1AP﹦B，于是
P^－1A²P﹦B²，P^TA^T(P^T)^－1﹦B^T，P^－1A^－1P﹦B^－1，
则有A²与B²相似，A^T与B^T相似，A^－1与B^－1相似。
又因为A可逆，所以A^－1(AB)A﹦BA，即AB与BA相似。故本题选D。
本题考查矩阵的相似。考生可由题干A与曰相似得出A与B的关系，进而通过矩阵变换及矩阵的性质判断命题的正误。

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考研数学一

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