设函数在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f’(x)≠1,证明在(0,1)内方程f(x)=x有且仅有一个实根.

admin2021-02-25  122

问题 设函数在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f’(x)≠1,证明在(0,1)内方程f(x)=x有且仅有一个实根.

选项

答案设F(x)=f(x)-x,则F(x)在[0,1]上连续. 由于0<f(x)<1,所以 F(0)=f(0)>0,F(1)=f(1)-1<0, 由介值定理知,在(0,1)内至少存在一点ξ,使F(ξ)=0,即f(ξ)=ξ. 假设有两个x1,x2∈(0,1),且x1≠x2,使F(x1)=F(x2)=0,则由罗尔定理,存在η∈(0,1),使f’(η)=f’(η)-1=0,这与f’(x)≠1矛盾,故f(x)=x有且仅有一个实根.

解析
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