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设f(x)有连续导数,f(x)>0,且对任意x,h,满足f(x+h)=∫xx+hdt+f(x),f(1)= 求f(x)
设f(x)有连续导数,f(x)>0,且对任意x,h,满足f(x+h)=∫xx+hdt+f(x),f(1)= 求f(x)
admin
2022-06-09
46
问题
设f(x)有连续导数,f(x)>0,且对任意x,h,满足f(x+h)=∫
x
x+h
dt+f(x),f(1)=
求f(x)
选项
答案
在已知等式中,令x=0,得 f(h)=∫
0
h
t(t
2
+1)/f(t) dt+f(0) 两边同时对h求导,得f’(h)=h(h
2
+1)/f(h),即 2f(h)f’(h)=2h+2h
3
两边同时积分,得 [f(h)]
2
=h
2
+1/2 h
4
+C 由f(1)=[*],得C=1/2,故 f(x)=[*]
解析
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考研数学二
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