设f(x)有连续导数，f(x)＞0，且对任意x，h，满足f(x＋h)＝∫xx＋hdt＋f(x)，f(1)＝求f(x)

admin2022-06-09 41

问题设f(x)有连续导数，f(x)＞0，且对任意x，h，满足f(x＋h)＝∫_x^x＋hdt＋f(x)，f(1)＝

求f(x)

选项

答案在已知等式中，令x＝0，得 f(h)＝∫₀^ht(t²＋1)/f(t) dt＋f(0) 两边同时对h求导，得f’(h)＝h(h²＋1)/f(h)，即 2f(h)f’(h)＝2h＋2h³ 两边同时积分，得 [f(h)]²＝h²＋1/2 h⁴＋C 由f(1)＝[*]，得C＝1/2，故 f(x)＝[*]

解析

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