(2006年试题，二)函数y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是( )．

admin2021-01-19 69

问题 (2006年试题，二)函数y=C₁e^x+C₂e^-2x+xe^x满足的一个微分方程是( )．

选项 A、y^’’一y^’一2y=3xe^x
B、y^’’一y^’一2y=3e^x
C、y^’’+y^’一2y=3xe^x
D、y^’’一y^’一2y=3e^x

答案D

解析依题意，y=C₁e^x+C₂e^-2x+xe^x是某二阶常系数线性非齐次微分方程的通解．相应的齐次方程的特征根是λ₁=1，λ₂=一2，特征方程应是(λ一1)(λ+2)=0，所以相应的齐次方程为y^’’+y^’一2y=0在D中，方程y^’’+y^’一2y=3e^x有形如y^*=Axe^x的特解(e^ax中a=1是单特征根)．通过验证知，y^*=xe^x是y^’’+y^’一2y=3e^x的特解．所以选D．

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