3阶矩阵，已知r(AB)小于r(A)和r(B)，求a，b和r(AB)．

admin2017-06-08 41

问题 3阶矩阵

，已知r(AB)小于r(A)和r(B)，求a，b和r(AB)．

选项

答案条件r(AB)小于r(A)，说明B不可逆(这是用了矩阵秩的性质⑤的逆否命题)．类似地r(AB)小于r(B)，说明A不可逆．于是｜A｜=｜B｜=0．求出｜A｜=－4a+8b－12，｜B｜=a+b－3，则a，b满足 [*] 解得a=1，b=2． r(AB)＜r(A)＜3，则r(AB)≤1．再由AB不是零矩阵(如它的(2，3)位元素为4)，得r(AB)=1． (说明AB不是零矩阵也可用反证法得到：如果AB=0，则r(A)+r(B)≤3，而显然r(A)=r(B)=2．)

解析

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