就k的不同取值情况，确定方程x一sinx=k在开区间(0，)内根的个数，并证明你的结论．

admin2017-04-24 41

问题就k的不同取值情况，确定方程x一

sinx=k在开区间(0，

)内根的个数，并证明你的结论．

选项

答案设f(x)=x一[*]sinx，则f(x)在[0，[*]]上连续．由f’(x)=1一[*]cosx=0，解得f(x)在(0，[*])内的唯一驻点x₀=arccos[*] 由于当x∈(0，x₀)时，f’(x)＜0，当x∈(x₀，[*])，f’(x)＞0，所以f(x)在[0，x₀]上单调减少．在[x₀，[*]]上单调增加，因此x₀为f(x)在(0，[*])内唯一的最小值点，最小值为y₀=f(x₀)=x₀一[*]，又因f(0)=f([*])=0，故在(0，[*])内f(x)的取值范围为(y₀，0)．因此，当k[*][y₀，0)，即k＜y₀或k≥0时，原方程在(0，[*])内没有根．当k =y₀时，原方程在(0，[*])内有唯一实根x₀．当k∈(y₀，0)时，原方程在(0，x₀)和(x₀，[*])内各恰有一根，即原方程在(0，[*])内恰有两个不同的根．

解析

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考研数学二

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