2. 考研
  3. 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，且2f(0)=f(1)+f(2)，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)=0．

设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，且2f(0)=f(1)+f(2)，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)=0．

admin2022-10-12  82
问题 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，且2f(0)=f(1)+f(2)，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)=0．
选项
答案因为f(x)∈C[1，2]，所以f(x)在[1，2]上取到最小值m和最大值M，又因为m≤[f(1)+f(2)]/2≤M，所以由介值定理，存在c∈[1，2]，使得f(c)=[f(1)+f(2)]/2，即2f(c)=f(1)+f(2)，故f(0)=f(c)，由罗尔定理，存在ξ∈(0，c)∈(0，2)，使得f’(ξ)=0．
解析
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考研数学三

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