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设f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,证明:存在ξ∈(1,2),使得ξf’(ξ)-f(ξ)=f(2)-2f(1).
设f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,证明:存在ξ∈(1,2),使得ξf’(ξ)-f(ξ)=f(2)-2f(1).
admin
2022-10-12
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问题
设f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,证明:存在ξ∈(1,2),使得ξf’(ξ)-f(ξ)=f(2)-2f(1).
选项
答案
令φ(x)=[f(x)+f(2)-2f(1)]/x,则φ(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且φ(1)=φ(2)=f(2)-f(1),由罗尔定理,存在ξ∈(1,2),使得φ’(ξ)=0,而f’(x)=[xf’(x)-f(x)-f(2)+2f(1)]/x
2
,故ξf’(ξ)-f(ξ)=f(2)-2f(1).
解析
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考研数学三
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