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设y(x)是方程y(4)一y’’=0的解,且当x→0时,y(x)是x的3阶无穷小,求y(x).
设y(x)是方程y(4)一y’’=0的解,且当x→0时,y(x)是x的3阶无穷小,求y(x).
admin
2015-08-17
62
问题
设y(x)是方程y
(4)
一y’’=0的解,且当x→0时,y(x)是x的3阶无穷小,求y(x).
选项
答案
由泰勒公式[*]当x→0时,y(x)与x
3
同阶→y(0)=0,y’(0)=0,y’’(0)=0,y’’’(0)=C,其中C为非零常数.由这些初值条件,现将方程y
(4)
一y’’=0两边积分得[*]即y’’’(x)一C—y’(x)=0,两边再积分得y’’(x)一y(x)=Cx.易知,它有特解y
*
=一Cx,因此它的通解是y=C
1
e
x
+C
2
e
-x
一Cx.由初值y(0)=0,y’(0)=0得C
1
+C
2
=0,[*]因此最后得[*]其中C为非零常数.
解析
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考研数学一
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