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设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)= (1)求随机变量X,Y的边缘密度函数; (2)判断随机变量X,Y是否相互独立; (3)求随机变量Z=X+2Y的分布函数和密度函数.
设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)= (1)求随机变量X,Y的边缘密度函数; (2)判断随机变量X,Y是否相互独立; (3)求随机变量Z=X+2Y的分布函数和密度函数.
admin
2017-11-13
40
问题
设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)=
(1)求随机变量X,Y的边缘密度函数;
(2)判断随机变量X,Y是否相互独立;
(3)求随机变量Z=X+2Y的分布函数和密度函数.
选项
答案
(1)f
X
(X)=∫
-∞
+∞
f(x,y)dy. 当x≤0时,f
X
(x)=0; 当x>0时,f
X
(x)=∫
-∞
+∞
f(x,y)dy=∫
0
+∞
2e
-(x+2y)
dy=e
-x
∫
0
+∞
e
-2y
d(2y)=e
-x
, 则f
X
(x)=[*] f
Y
(y)=∫
-∞
+∞
f(x,y)dx, 当y≤0时,f
Y
(y)=0; 当y>0时,f
Y
(y)=∫
0
+∞
2e
-(x+2y)
dx=2e
-2y
∫
0
+∞
e
-x
dx=2e
-2y
, 则f
Y
(y)=[*] (2)因为f(x,y)=f
X
(x)f
Y
(y),所以随机变量X,Y相互独立. (3)F
Z
(z)=P(Z≤z)=P(X+2y≤z)=[*]f(x,y)dxdy, 当z≤0时,F
Z
(z)=0; 当z>0时, [*]
解析
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考研数学一
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