设a0＝3，a1＝5，nan＝(n＞1)． (Ⅰ)证明：当－1＜x＜1时，幂级数收敛； (Ⅱ)求该级数的和函数s(x)(－1＜x＜1)．

admin2020-10-30 61

问题设a₀＝3，a₁＝5，na_n＝

(n＞1)．
(Ⅰ)证明：当－1＜x＜1时，幂级数

收敛；
(Ⅱ)求该级数的和函数s(x)(－1＜x＜1)．

选项

答案(Ⅰ)问题转化为求幂级数[*]的收敛半径R．由已知条件，当n＞1时，[*] 从而[*] 所以幂级数[*]的收敛半径R＝[*]＝1，故当－1＜x＜1时，该幂级数收敛． (Ⅰ)设[*]则[*] 即(1＋x)s’(x)＝[*]＋3，于是[*] 由一阶线性微分方程的通解公式，得s(x)＝C[*]，由s(0)＝3，得[*]，故该幂级数的和函数为[*]

解析

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考研数学三

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