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[2010年] 设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解.若常数λ,μ使λy1+μy2是该方程的解,λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解,则( ).
[2010年] 设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解.若常数λ,μ使λy1+μy2是该方程的解,λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解,则( ).
admin
2019-03-30
108
问题
[2010年] 设y
1
,y
2
是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解.若常数λ,μ使λy
1
+μy
2
是该方程的解,λy
1
-μy
2
是该方程对应的齐次方程的解,则( ).
选项
A、λ=1/2,μ1=1/2
B、λ=一1/2,μ=一1/2
C、λ=2/3,μ=1/3
D、λ=2/3,μ=2/3
答案
A
解析
解一 因λy
1
-μy
2
是y’+p(x)y=0的解,故
(λy
1
-μy
2
)’+p(x)(λy
1
-μy
2
)=λ(y
1
’+p(x)y
1
)-μ(y
2
’+p(x)y
2
)=0.
又 y
1
’+p(x)y
1
=q(x), y
2
’+p(x)y
2
=q(x),
故 λq(x)-μq(x)=(λ-μ)q(x)=0.
而q(x)≠0,故λ-μ=0,即λ=μ.
又λy
1
+μy
2
为y’+p(x)y=q(x)的解,故
(λy
1
+μy
2
)’+p(x)(λy
1
+μy
2
)=λ[y
1
’+p(x)y
1
]+μ[y
2
’+p(x)y
2
]=λq(x)+μq(x)=(λ+μ)q(x)=q(x).
因q(x)≠0,故λ+μ=1.由λ=μ得到λ=μ=1/2.仅(A)入选.
解二 y
1
与y
2
为方程y’+p(x)y=q(x)的解,又已知λy
1
+μy
2
也是该方程的解,则由命题1.6.1.1(1)知,λ+μ=1.又由λy
1
-μy
2
是该方程对应的齐次方程的解,由命题1.6.1.1(2)知,λ+(-μ)=λ-μ=0,即λ=μ.联立λ=μ,λ+μ=1解得λ=μ=1/2.仅(A)入选.
(注:命题1.6.1.1 (1)若y
1
,y
2
,…,y
s
均为y’+p(x)y=q(x)的解,则当k
1
+k
2
+…+k
s
=1时,k
1
y
1
+k
2
y
2
+…+k
s
y
s
为y’+p(x)y=q(x)的解.
(2)若y
1
,y
2
,…,y
s
均为y’+p(x)y=q(x)的解,则当k
1
+k
2
+…+k
s
=0时,k
1
y
1
+k
2
y
2
+…+k
s
y
s
为y’+p(x)y=0的解.
特别地,若y
1
,y
2
为y’+p(x)y=q(x)的两个解,则y
2
-y
1
为y’+p(x)y=0的解.)
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考研数学三
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