2. 考研
  3. [2010年] 设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解．若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则( )．

[2010年] 设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解．若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则( )．

admin2019-03-30  103
问题 [2010年]  设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解．若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则(    )．
选项 A、λ=1／2，μ1=1／2
B、λ=一1／2，μ=一1／2
C、λ=2／3，μ=1／3
D、λ=2／3，μ=2／3
答案A
解析 解一  因λy1－μy2是y’+p(x)y=0的解，故
                 (λy1－μy2)’+p(x)(λy1－μy2)=λ(y1’+p(x)y1)－μ(y2’+p(x)y2)=0．
又          y1’+p(x)y1=q(x)，  y2’+p(x)y2=q(x)，
故        λq(x)－μq(x)=(λ－μ)q(x)=0．
而q(x)≠0，故λ－μ=0，即λ=μ．
    又λy1+μy2为y’+p(x)y=q(x)的解，故
              (λy1+μy2)’+p(x)(λy1+μy2)=λ[y1’+p(x)y1]+μ[y2’+p(x)y2]=λq(x)+μq(x)=(λ+μ)q(x)=q(x)．
因q(x)≠0，故λ+μ=1．由λ=μ得到λ=μ=1／2．仅(A)入选．
    解二  y1与y2为方程y’+p(x)y=q(x)的解，又已知λy1+μy2也是该方程的解，则由命题1．6．1．1(1)知，λ+μ=1．又由λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，由命题1．6．1．1(2)知，λ+(-μ)=λ－μ=0，即λ=μ．联立λ=μ，λ+μ=1解得λ=μ=1／2．仅(A)入选．
    (注：命题1．6．1．1  (1)若y1，y2，…，ys均为y’+p(x)y=q(x)的解，则当k1+k2+…+ks=1时，k1y1+k2y2+…+ksys为y’+p(x)y=q(x)的解．
    (2)若y1，y2，…，ys均为y’+p(x)y=q(x)的解，则当k1+k2+…+ks=0时，k1y1+k2y2+…+ksys为y’+p(x)y=0的解．
    特别地，若y1，y2为y’+p(x)y=q(x)的两个解，则y2-y1为y’+p(x)y=0的解．)
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考研数学三

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