2. 考研
  3. 设有n元实二次型 f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2， 其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问当a1，a2，…，an满足何种条件时，该

设有n元实二次型 f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2， 其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问当a1，a2，…，an满足何种条件时，该

admin2019-05-08  80
问题 设有n元实二次型
             f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，
其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问当a1，a2，…，an满足何种条件时，该二次型为正定二次型?
选项
答案解一 根据定义，二次型f(X)正定是指对任何X≠0，恒有f(X)=XTAX＞0．由其逆否命题知，此条件等价于f(X)=XTAX≤0时，X=0．由题设知f(X)＜0不可能，故等价于f(X)=XTAX=0时有X=0，亦即等价于方程组 [*] 只有零解．当上述方程组只有零解时，就必有当X≠0时，x1+a1x2，x2+a2x3，…，xn+anx1恒不全为零，从而恒有XTAX>0，则f(X)=XTAX是正定二次型．而上述方程组只有零解的充分必要条件是其系数行列式 [*] 于是当1+(－1)n-1a1a2…an≠0时，上述方程组只有零解．因而当1+(－1)n-1a1a2…an≠0时，对任意不全为零的x1，x2，…，xn都有f(x1，x2，…，xn)>0．由二次型正定的定义知f正定． 解二 考虑到f(x1，x2，…，xn)是平方和，因而可用标准形求解．事实上，如果令 [*] 当|A|≠0即1+(－1)n－1a1a2…an≠0时，上述变换Y=AX为可逆线性变换．记其逆变换X=A－1Y=PY，通过可逆线性变换X=PY就可将f化成规范形f=y12+y22++yn2．因正惯性指数为n，由命题2．6．3．1(4)知上述二次型为正定二次型．因此当|A|≠0即1+(－1)n-1a1a2…an≠0时，f正定． 注：命题2．6．3．1设A为二次型f(x1，x2，…，xn)的矩阵，下列条件都是f正定(A为正定矩阵)的充要条件：(4)f的标准形中的n个系数都是正数(f的正惯性指数p=n)；
解析
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考研数学三

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