首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设有n元实二次型 f(x1,x2,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2, 其中ai(i=1,2,…,n)为实数.试问当a1,a2,…,an满足何种条件时,该
设有n元实二次型 f(x1,x2,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2, 其中ai(i=1,2,…,n)为实数.试问当a1,a2,…,an满足何种条件时,该
admin
2019-05-08
49
问题
设有n元实二次型
f(x
1
,x
2
,…,x
n
)=(x
1
+a
1
x
2
)
2
+(x
2
+a
2
x
3
)
2
+…+(x
n-1
+a
n-1
x
n
)
2
+(x
n
+a
n
x
1
)
2
,
其中a
i
(i=1,2,…,n)为实数.试问当a
1
,a
2
,…,a
n
满足何种条件时,该二次型为正定二次型?
选项
答案
解一 根据定义,二次型f(X)正定是指对任何X≠0,恒有f(X)=X
T
AX>0.由其逆否命题知,此条件等价于f(X)=X
T
AX≤0时,X=0.由题设知f(X)<0不可能,故等价于f(X)=X
T
AX=0时有X=0,亦即等价于方程组 [*] 只有零解.当上述方程组只有零解时,就必有当X≠0时,x
1
+a
1
x
2
,x
2
+a
2
x
3
,…,x
n
+a
n
x
1
恒不全为零,从而恒有X
T
AX>0,则f(X)=X
T
AX是正定二次型.而上述方程组只有零解的充分必要条件是其系数行列式 [*] 于是当1+(-1)
n-1
a
1
a
2
…a
n
≠0时,上述方程组只有零解.因而当1+(-1)
n-1
a
1
a
2
…a
n
≠0时,对任意不全为零的x
1
,x
2
,…,x
n
都有f(x
1
,x
2
,…,x
n
)>0.由二次型正定的定义知f正定. 解二 考虑到f(x
1
,x
2
,…,x
n
)是平方和,因而可用标准形求解.事实上,如果令 [*] 当|A|≠0即1+(-1)
n-1
a
1
a
2
…a
n
≠0时,上述变换Y=AX为可逆线性变换.记其逆变换X=A
-1
Y=PY,通过可逆线性变换X=PY就可将f化成规范形f=y
1
2
+y
2
2
++y
n
2
.因正惯性指数为n,由命题2.6.3.1(4)知上述二次型为正定二次型.因此当|A|≠0即1+(-1)
n-1
a
1
a
2
…a
n
≠0时,f正定. 注:命题2.6.3.1设A为二次型f(x
1
,x
2
,…,x
n
)的矩阵,下列条件都是f正定(A为正定矩阵)的充要条件:(4)f的标准形中的n个系数都是正数(f的正惯性指数p=n);
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/8sJ4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
求级数的收敛域与和函数.
设随机变量X在1,2,3中等可能地取值,随机变量Y在1~X中等可能地取值。求:(Ⅰ)二维随机变量(X,Y)的联合分布律及边缘分布律;(Ⅱ)求在Y=2的条件下X的条件分布。
设随机变量X与Y均服从正态分布N(μ,σ2),则P{max(X,Y)>μ}一P{min(X,Y)<μ}=________。
已知随机变量X~N(2,9),Y服从参数为0.5的指数分布,且ρXY=一0.25,则D(2X一3Y)=________。
设随机变量X和Y分别服从,已知P{X=0,Y=0}=求:(Ⅰ)(X,Y)的分布;(Ⅱ)X和Y的相关系数;(Ⅲ)P{x=1|X2+Y2=1}。
设f(x)在[0,1]上可导,f(0)=0,|f’(x)|≤|f(x)|.证明:f(x)≡0,x∈[0,1].
设an=tannxdx.(1)求(an+an+2)的值;(2)证明:对任意常数λ>0,收敛.
设A=方程组AX=B有解但不唯一.(1)求a;(2)求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角阵;(3)求正交阵Q,使得QTAQ为对角阵.
设平面区域D由曲线与直线及y轴围成,计算二重积分
曲线y=x(x一1)3(x一2)与x轴围成的图形的面积为()
随机试题
承载能力较小的屋顶绿化一般较宜选择
温经汤(《妇人大全良方》、《金匮要略》)的药物组成不包括
抗震设防裂度为7度区的高度≤30m的住宅混凝土结构的抗震等级为()级。
为保证堤坝式电站在建设和运行期间不造成下游河道断流,必须考虑下泄生态流量的时期有()。
商用房贷款信用风险的主要内容不包括()。
当再投资风险大于利率风险时,也可能出现短期利率高于长期利率的现象。()
现代农业的发展不能脱离生态安全和产品安全两个基本要求,因此,农业污染防治应作为现代农业发展的重要任务之一。不同于工业污染和城市污染,农业污染涉及面广而隐蔽性强,评估难度大,不适合建立惩罚型机制。同时,由于农民收入水平相对较低,不可能进行“污染收费”。所以说
A.社区牙周指数为0B.社区牙周指数为1C.社区牙周指数为2D.社区牙周指数为3E.社区牙周指数为4牙龈炎,探诊出血()。
《法官法》第14条规定:“对于违反本法规定的条件任命法官的。一经发现,做出该项任命的机关应当撤销该项任命;上级人民法院发现下级人民法院法官的任命有违反本法规定的条件的。应当建议下级人民法院依法撤销该项任命。或者建议下级人民法院依法提请同级人民代表大会常
(71)is a device which enables digital microcomputers to communicate across analog telephone lines。
最新回复
(
0
)