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设有n元实二次型 f(x1,x2,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2, 其中ai(i=1,2,…,n)为实数.试问当a1,a2,…,an满足何种条件时,该
设有n元实二次型 f(x1,x2,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2, 其中ai(i=1,2,…,n)为实数.试问当a1,a2,…,an满足何种条件时,该
admin
2019-05-08
119
问题
设有n元实二次型
f(x
1
,x
2
,…,x
n
)=(x
1
+a
1
x
2
)
2
+(x
2
+a
2
x
3
)
2
+…+(x
n-1
+a
n-1
x
n
)
2
+(x
n
+a
n
x
1
)
2
,
其中a
i
(i=1,2,…,n)为实数.试问当a
1
,a
2
,…,a
n
满足何种条件时,该二次型为正定二次型?
选项
答案
解一 根据定义,二次型f(X)正定是指对任何X≠0,恒有f(X)=X
T
AX>0.由其逆否命题知,此条件等价于f(X)=X
T
AX≤0时,X=0.由题设知f(X)<0不可能,故等价于f(X)=X
T
AX=0时有X=0,亦即等价于方程组 [*] 只有零解.当上述方程组只有零解时,就必有当X≠0时,x
1
+a
1
x
2
,x
2
+a
2
x
3
,…,x
n
+a
n
x
1
恒不全为零,从而恒有X
T
AX>0,则f(X)=X
T
AX是正定二次型.而上述方程组只有零解的充分必要条件是其系数行列式 [*] 于是当1+(-1)
n-1
a
1
a
2
…a
n
≠0时,上述方程组只有零解.因而当1+(-1)
n-1
a
1
a
2
…a
n
≠0时,对任意不全为零的x
1
,x
2
,…,x
n
都有f(x
1
,x
2
,…,x
n
)>0.由二次型正定的定义知f正定. 解二 考虑到f(x
1
,x
2
,…,x
n
)是平方和,因而可用标准形求解.事实上,如果令 [*] 当|A|≠0即1+(-1)
n-1
a
1
a
2
…a
n
≠0时,上述变换Y=AX为可逆线性变换.记其逆变换X=A
-1
Y=PY,通过可逆线性变换X=PY就可将f化成规范形f=y
1
2
+y
2
2
++y
n
2
.因正惯性指数为n,由命题2.6.3.1(4)知上述二次型为正定二次型.因此当|A|≠0即1+(-1)
n-1
a
1
a
2
…a
n
≠0时,f正定. 注:命题2.6.3.1设A为二次型f(x
1
,x
2
,…,x
n
)的矩阵,下列条件都是f正定(A为正定矩阵)的充要条件:(4)f的标准形中的n个系数都是正数(f的正惯性指数p=n);
解析
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考研数学三
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