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讨论函数f(χ,y)=在点(0,0)处 (Ⅰ)是否连续; (Ⅱ)偏导数是否存在; (Ⅲ)是否可微; (Ⅳ)偏导数是否连续.
讨论函数f(χ,y)=在点(0,0)处 (Ⅰ)是否连续; (Ⅱ)偏导数是否存在; (Ⅲ)是否可微; (Ⅳ)偏导数是否连续.
admin
2020-06-20
105
问题
讨论函数f(χ,y)=
在点(0,0)处
(Ⅰ)是否连续;
(Ⅱ)偏导数是否存在;
(Ⅲ)是否可微;
(Ⅳ)偏导数是否连续.
选项
答案
(Ⅰ)当(χ,y)≠(0,0)时,|f(χ,y)|≤χ
2
+y
2
,故[*]f(χ,y)=0=f(0,0),所以函数在(0,0)处连续. (Ⅱ)在(0,0)处, [*] 即f(χ,y)在(0,0)处关于χ的偏导数存在,且f′
χ
(0,0)=0. 同理,f′
y
(0,0)也存在,且f′
y
(0,0)=0. (Ⅲ)由(2)知,f′
χ
(0,0)=f′
y
(0,0)=0, 函数在(0,0)处的全增量: △z=f(△χ,△y)-f(0,0)=[(△χ)
2
+(△y)
2
]sin[*] =ρ
2
sin[*], 其中ρ=[*].故 △z-[f′
χ
(0,0)△χ+f′
y
(0,0)△y]=ρ
2
sin[*]. 因为[*] 所以△z=f′
χ
(0,0)△χ+f′
y
(0,0)△y+o(ρ). 故函数f(χ,y)在(0,0)处可微,且dz=f′
χ
(0,0)△χ+f′
y
(0,0)△y=0. (Ⅳ)当(χ,y)≠(0,0)时 [*] 故[*]均不存在 所以f′
χ
(χ,y),f′
y
(χ,y)在(0,0)处都不连续.
解析
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考研数学三
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