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  3. 讨论函数f(χ，y)＝在点(0，0)处 (Ⅰ)是否连续； (Ⅱ)偏导数是否存在； (Ⅲ)是否可微； (Ⅳ)偏导数是否连续．

讨论函数f(χ，y)＝在点(0，0)处 (Ⅰ)是否连续； (Ⅱ)偏导数是否存在； (Ⅲ)是否可微； (Ⅳ)偏导数是否连续．

admin2020-06-20  59
问题 讨论函数f(χ，y)＝在点(0，0)处
    (Ⅰ)是否连续；
    (Ⅱ)偏导数是否存在；
    (Ⅲ)是否可微；
    (Ⅳ)偏导数是否连续．
选项
答案(Ⅰ)当(χ，y)≠(0，0)时，｜f(χ，y)｜≤χ2＋y2，故[*]f(χ，y)＝0＝f(0，0)，所以函数在(0，0)处连续． (Ⅱ)在(0，0)处， [*] 即f(χ，y)在(0，0)处关于χ的偏导数存在，且f′χ(0，0)＝0． 同理，f′y(0，0)也存在，且f′y(0，0)＝0． (Ⅲ)由(2)知，f′χ(0，0)＝f′y(0，0)＝0， 函数在(0，0)处的全增量： △z＝f(△χ，△y)－f(0，0)＝[(△χ)2＋(△y)2]sin[*] ＝ρ2sin[*]， 其中ρ＝[*]．故 △z－[f′χ(0，0)△χ＋f′y(0，0)△y]＝ρ2sin[*]． 因为[*] 所以△z＝f′χ(0，0)△χ＋f′y(0，0)△y＋o(ρ)． 故函数f(χ，y)在(0，0)处可微，且dz＝f′χ(0，0)△χ＋f′y(0，0)△y＝0． (Ⅳ)当(χ，y)≠(0，0)时 [*] 故[*]均不存在 所以f′χ(χ，y)，f′y(χ，y)在(0，0)处都不连续．
解析
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考研数学三

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