求正交变换化二次型x12+x22+x32一4x1x2—4x2x3—4x1x3为标准形．

admin2017-05-10 47

问题求正交变换化二次型x₁²+x₂²+x₃²一4x₁x₂—4x₂x₃—4x₁x₃为标准形．

选项

答案二次型矩阵[*] 由特征多项式 [*] 得特征值为 λ₁=λ₂=3，λ₃=一3．由(3E—A)x=0得基础解系α₁=(一1，1，0)^T，α₂=(一1，0，1)^T，即λ=3的特征向量是α₁，α₂．由(一3E—A)x=0得基础解系α₃=(1，1，1)^T．对α₁，α₂经Schmidt正交化，有 [*] 单位化，得 [*] 那么，令x=Qy，其中Q=(γ₁，γ₂，γ₃)，则有f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx=y^TAy=3y₁²+3y₂²一3y₃²．

解析

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考研数学三

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设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2,记证明二次型，对应的矩阵为2ααT+ββT；
判别级数(x≥0)的敛散性．
二阶常系数非齐次线性微分方程y"-4y’+3y=2e2x的通解为y=_______.
讨论下列函数在点x＝0处的连续性与可导性：
设函数y=y(x)往(-∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．试将x=x(y)所满足的微分方程d2x/dy2+(y+sinx)(dx/dy)3=0变换为y=y(x)满足的微分方程；
设矩阵A满足A2+A-4层=0，其中E为单位矩阵，则(A-E)-1=________.
0由级数收敛知，因为级数收敛，因此其通项趋于0．
若则(A*)-1=____________．
若则A2=___________，A3=___________．

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