2. 考研
  3. 设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1．求该曲线的方程，并求函数y=y(x)的极值．

设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1．求该曲线的方程，并求函数y=y(x)的极值．

admin2019-04-05  62
问题 设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1．求该曲线的方程，并求函数y=y(x)的极值．
选项
答案先由曲率公式及题设条件可建立一个二阶微分方程。再由曲线经过点(0，1)及切线方程y=x+l可得初始条件y(0)=l，y′(0)=l，解之即可求得曲线方程． 因曲线向上凸，故y″＜0．由题设知，[*]，得到[*]=一1．这是既不显含自变量x，又不显含y的可降阶的二阶方程．令P(x)=y′，则p′=y″，上述方程化为 [*]=一1， 即[*]=一dx， 积分得 arctanp=c1－x． 因为y=y(x)在点(0，1)处的切线方程为y=x+1，所以P∣x=0=y∣x=0=1，代入上式得 c1=π／4，故y′=tan(π／4一x)，积分后得y=ln∣cos(π／4一x)∣+c2． 因为曲线过点(0，1)，所以y∣x=0=1，代入上式得c2=1+(1n2)／2，故所求曲线的方程为 y=ln∣cos(π／4一x)∣+1+(ln2)／2． 因y是周期为π的周期函数，取其含x=0在内且连续的一支为 y=lncos(π／4一x)+1+(ln2)／2， x∈(一π／4，3π／4)． 因cos(π／4－x)≤1且x=π／4时，cos(π／4－x)=1，故x=π／4时函数取极大值y=1+(ln2)／2． 当x→(一π／4)+或x→(3π／4)-时，y→一∞，故函数无极小值．
解析
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考研数学二

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