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设y=y(x)是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+1.求该曲线的方程,并求函数y=y(x)的极值.
设y=y(x)是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+1.求该曲线的方程,并求函数y=y(x)的极值.
admin
2019-04-05
63
问题
设y=y(x)是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为
且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+1.求该曲线的方程,并求函数y=y(x)的极值.
选项
答案
先由曲率公式及题设条件可建立一个二阶微分方程。再由曲线经过点(0,1)及切线方程y=x+l可得初始条件y(0)=l,y′(0)=l,解之即可求得曲线方程. 因曲线向上凸,故y″<0.由题设知,[*],得到[*]=一1.这是既不显含自变量x,又不显含y的可降阶的二阶方程.令P(x)=y′,则p′=y″,上述方程化为 [*]=一1, 即[*]=一dx, 积分得 arctanp=c
1
-x. 因为y=y(x)在点(0,1)处的切线方程为y=x+1,所以P∣
x=0
=y∣
x=0
=1,代入上式得 c
1
=π/4,故y′=tan(π/4一x),积分后得y=ln∣cos(π/4一x)∣+c
2
. 因为曲线过点(0,1),所以y∣
x=0
=1,代入上式得c
2
=1+(1n2)/2,故所求曲线的方程为 y=ln∣cos(π/4一x)∣+1+(ln2)/2. 因y是周期为π的周期函数,取其含x=0在内且连续的一支为 y=lncos(π/4一x)+1+(ln2)/2, x∈(一π/4,3π/4). 因cos(π/4-x)≤1且x=π/4时,cos(π/4-x)=1,故x=π/4时函数取极大值y=1+(ln2)/2. 当x→(一π/4)
+
或x→(3π/4)
-
时,y→一∞,故函数无极小值.
解析
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考研数学二
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