求正交变换化二次型χ12+χ22+χ32-4χ1χ2-4χ2χ3-4χ1χ3为标准形.

admin2016-10-21  40

问题 求正交变换化二次型χ12+χ22+χ32-4χ1χ2-4χ2χ3-4χ1χ3为标准形.

选项

答案二次型矩阵A=[*],由特征多项式 |λE-A|=[*]=(λ+3)(λ-3)2, 得特征值为λ1=λ2=3,λ3=-3. 由(3E-A)χ=0得基础解系α1=(-1,1,0)T,α2=(-1,0,1)T,即λ=3的特征向量是α1,α2. 由(-3E-A)χ=0得基础解系α3=(1,1,1)T. 对α1,α2经Schmidt正交化,有 β1=α1,β2=α2-[*] 单位化,得 [*] 那么,令χ=Qy,其中Q=(γ1,γ2,γ3),则有f(χ1,χ2,χ3)=χTAχ=yT∧y=3y12+3y22-3y32

解析
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