求正交变换化二次型χ12＋χ22＋χ32－4χ1χ2－4χ2χ3－4χ1χ3为标准形．

admin2016-10-21 68

问题求正交变换化二次型χ₁²＋χ₂²＋χ₃²－4χ₁χ₂－4χ₂χ₃－4χ₁χ₃为标准形．

选项

答案二次型矩阵A＝[*]，由特征多项式｜λE－A｜＝[*]＝(λ＋3)(λ－3)²，得特征值为λ₁＝λ₂＝3，λ₃＝－3．由(3E－A)χ＝0得基础解系α₁＝(－1，1，0)^T，α₂＝(－1，0，1)^T，即λ＝3的特征向量是α₁，α₂．由(－3E－A)χ＝0得基础解系α₃＝(1，1，1)^T．对α₁，α₂经Schmidt正交化，有 β₁＝α₁，β₂＝α₂－[*] 单位化，得 [*] 那么，令χ＝Qy，其中Q＝(γ₁，γ₂，γ₃)，则有f(χ₁，χ₂，χ₃)＝χ^TAχ＝y^T∧y＝3y₁²＋3y₂²－3y₃²．

解析

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考研数学二

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