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假设对于一切实数x,函数f(x)满足等式f’(x)=x2+∫0xf(t)dt,且f(0)=2,则f(x)=________。
假设对于一切实数x,函数f(x)满足等式f’(x)=x2+∫0xf(t)dt,且f(0)=2,则f(x)=________。
admin
2022-10-13
58
问题
假设对于一切实数x,函数f(x)满足等式f’(x)=x
2
+∫
0
x
f(t)dt,且f(0)=2,则f(x)=________。
选项
答案
2(e
x
-x)
解析
由题设条件可知f’(x)存在,从而积分∫
0
x
f(t)dt对上限x可导,故f’(x)可导。
在所给等式两端同时求导,得微分方程
f"(x)=2x+f(x)
即f"(x)-f(x)=2x ①
该方程之相应齐次方程的通解为
f(x)=C
1
e
x
+C
2
e
-x
易见-2x是微分方程①的一个特解,因此其通解为
f(x)=C
1
e
x
+C
2
e
-x
-2x
由于f’(0)=0,f(0)=2,得关于常数C
1
和C
2
的方程组
其解为C
1
=2,C
2
=0,于是得f(x)=2(e
x
-x)
故应填2(e
x
-x)。
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考研数学三
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