假设对于一切实数x,函数f(x)满足等式f’(x)=x2+∫0xf(t)dt，且f(0)=2,则f(x)=________。

admin2022-10-13 58

问题假设对于一切实数x,函数f(x)满足等式f’(x)=x²+∫₀^xf(t)dt，且f(0)=2,则f(x)=________。

选项

答案2(e^x－x)

解析由题设条件可知f’(x)存在，从而积分∫₀^xf(t)dt对上限x可导，故f’(x)可导。
在所给等式两端同时求导，得微分方程
f"(x)=2x+f(x)
即f"(x)－f(x)=2x          ①
该方程之相应齐次方程的通解为
f(x)=C₁e^x+C₂e^-x
易见－2x是微分方程①的一个特解，因此其通解为
f(x)=C₁e^x+C₂e^-x－2x
由于f’(0)=0,f(0)=2,得关于常数C₁和C₂的方程组

其解为C₁=2，C₂=0，于是得f(x)=2(e^x－x)
故应填2(e^x－x)。

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