设f(x,y)=|x-y|φ(x,y),其中φ(x,y)在点(0,0)的某邻域内连续,则φ(0,0)=0是f(x,y)在点(0,0)处可微的 ( )

admin2016-07-22  16

问题 设f(x,y)=|x-y|φ(x,y),其中φ(x,y)在点(0,0)的某邻域内连续,则φ(0,0)=0是f(x,y)在点(0,0)处可微的    (    )

选项 A、必要条件但非充分条件.
B、充分条件但非必要条件.
C、充分必要条件.
D、既非充分又非必要条件.

答案C

解析 先证充分性.设φ(0,0)=0,由于φ(x,y)在点(0,0)处连续,所以φ(x,y)=0.由于


所以
f(0+△x,0+△y)-f(0,0)=|△x-△y|φ(△x,△y)
    =
按可微定义,f(x,y)在点O(0,0)处可微,且df(x,y)=0.△x+0.△y,即f′x(0,0)=0,f′y(0,0)=0.
再证必要性.设f(x,y)在点(0,0)处可微,则f′x(0,0)与f′y(0,0)必都存在.
f′x(0,0)==±φ(0,0),
其中x→0+时,取“+”,x→0时,取“-”.  
由于f′x(0,0)存在,所以φ(0,0)=-φ(0,0),从而φ(0,0)=0.证毕.
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