2. 考研
  3. 设f(x，y)=｜x－y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则φ(0，0)=0是f(x，y)在点(0，0)处可微的 ( )

设f(x，y)=｜x－y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则φ(0，0)=0是f(x，y)在点(0，0)处可微的 ( )

admin2016-07-22  18
问题 设f(x，y)=｜x－y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则φ(0，0)=0是f(x，y)在点(0，0)处可微的    (    )
选项 A、必要条件但非充分条件．
B、充分条件但非必要条件．
C、充分必要条件．
D、既非充分又非必要条件．
答案C
解析 先证充分性．设φ(0，0)=0，由于φ(x，y)在点(0，0)处连续，所以φ(x，y)=0．由于

故
所以
f(0+△x，0+△y)－f(0，0)=｜△x－△y｜φ(△x，△y)
    =
按可微定义，f(x，y)在点O(0，0)处可微，且df(x，y)=0.△x+0.△y，即f′x(0，0)=0，f′y(0，0)=0．
再证必要性．设f(x，y)在点(0，0)处可微，则f′x(0，0)与f′y(0，0)必都存在．
f′x(0，0)==±φ(0，0)，
其中x→0+时，取“+”，x→0－时，取“－”．  
由于f′x(0，0)存在，所以φ(0，0)=－φ(0，0)，从而φ(0，0)=0．证毕．
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考研数学二

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