2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]连续可导，且f(0)=0．证明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx．

设f(x)在[0，1]连续可导，且f(0)=0．证明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx．

admin2018-05-22  14
问题 设f(x)在[0，1]连续可导，且f(0)=0．证明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx．
选项
答案因为f’(x)在区间[0，1]上连续，所以f’(x)在区间[0，1]上取到最大值M和最小值m，对f(x)-f(0)=f’(c)x(其中c介于0与x之间)两边积分得 ∫01f(x)dx=∫01f’(c)cdx， 由m≤f’(c)≤M得m∫0xdx≤∫0f’(f)xdx≤M∫0xdx， 由m≤f’(c)≤M得∫01xdx≤∫01f’(c)xdx≤M∫01dx， 即m≤2∫01f’(c)xdx≤M或m≤2∫01f(c)dc≤M， 由介值定理，存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx．
解析
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考研数学二

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