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为清除井底的污泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图1—3—4).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2 000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升
为清除井底的污泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图1—3—4).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2 000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升
admin
2014-01-26
20
问题
为清除井底的污泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图1—3—4).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2 000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需做多少焦耳的功?(说明:①lN×1m=1J;m,N,s,J分别表示米,牛顿,秒,焦耳.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)
选项
答案
[详解1] 建立坐标轴如图1—3—5所示,将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功 W=W
1
+W
2
+W
3
, 其中W
1
是克服抓斗自重所做的功;W
2
是克服缆绳重力所做的功;W
3
是为提出污泥所做的功.由题意知 W
1
=400×30=12 000. 将抓斗由x处提升到x+dx处,克服缆绳重力所做的功为 dW
2
=50(30-x)dx, 从而W
2
=∫
0
30
50(30-x)dx=22 500. 在时间间隔[t,t+dt]内提升污泥需做功为 dW
3
=3(2 000—20t)dt, 将污泥从井底提升至井口共需时间[*],所以 W
3
=∫
0
10
3(2 000—20t)df=57 000. 因此,共需做功 W=12 000+22 500+57 000=91 500(J). [详解2] 如图所示,在时间段[t,t+△t]内所做功为 △W≈dW=[400+(2 000—20t)+50(30—3f)].3dt =30(390—17f)df, 已知井深30m,抓斗的提升速度为3m/s,抓起污泥的抓斗提升至井口所需的时间为10s,因此克服重力需做功 W=∫
0
10
30(390—17t)dt =30×390×10—15×17t
2
|
0
10
=91 500(J). [*]
解析
[分析] 抓斗将污泥从井底提升至井口克服重力做功,包括克服抓斗自身、缆绳和抓斗中的污泥这三方面重力所做的功.而在缆绳上升的过程中,其自身的重量及抓斗中污泥的重量随绳长的变化而变化,因此,需要用微元法,通过定积分计算其功.
[评注] 如果将dW
1
,dW
2
,dW
3
写在一个式子里,则在做积分时,应统一到一个变量x或t,并注意变量转换关系式x-3≠=3t.
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考研数学二
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