2. 考研
  3. 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(见图1—3—4)．已知井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2 000N，提升速度为3m／s，在提升过程中，污泥以20N／s的速率从抓斗缝隙中漏掉．现将抓起污泥的抓斗提升

为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(见图1—3—4)．已知井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2 000N，提升速度为3m／s，在提升过程中，污泥以20N／s的速率从抓斗缝隙中漏掉．现将抓起污泥的抓斗提升

admin2014-01-26  29
问题 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(见图1—3—4)．已知井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2 000N，提升速度为3m／s，在提升过程中，污泥以20N／s的速率从抓斗缝隙中漏掉．现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需做多少焦耳的功?(说明：①lN×1m＝1J；m，N，s，J分别表示米，牛顿，秒，焦耳．②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计．)
选项
答案[详解1] 建立坐标轴如图1—3—5所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功 W＝W1＋W2＋W3， 其中W1是克服抓斗自重所做的功；W2是克服缆绳重力所做的功；W3是为提出污泥所做的功．由题意知 W1＝400×30＝12 000． 将抓斗由x处提升到x＋dx处，克服缆绳重力所做的功为 dW2＝50(30－x)dx， 从而W2＝∫03050(30－x)dx＝22 500． 在时间间隔[t，t＋dt]内提升污泥需做功为 dW3＝3(2 000—20t)dt， 将污泥从井底提升至井口共需时间[*]，所以 W3＝∫0103(2 000—20t)df＝57 000． 因此，共需做功 W＝12 000＋22 500＋57 000＝91 500(J)． [详解2] 如图所示，在时间段[t，t＋△t]内所做功为 △W≈dW＝[400＋(2 000—20t)＋50(30—3f)].3dt ＝30(390—17f)df， 已知井深30m，抓斗的提升速度为3m／s，抓起污泥的抓斗提升至井口所需的时间为10s，因此克服重力需做功 W＝∫01030(390—17t)dt ＝30×390×10—15×17t2｜010 ＝91 500(J)． [*]
解析 [分析]  抓斗将污泥从井底提升至井口克服重力做功，包括克服抓斗自身、缆绳和抓斗中的污泥这三方面重力所做的功．而在缆绳上升的过程中，其自身的重量及抓斗中污泥的重量随绳长的变化而变化，因此，需要用微元法，通过定积分计算其功．
    [评注]  如果将dW1，dW2，dW3写在一个式子里，则在做积分时，应统一到一个变量x或t，并注意变量转换关系式x－3≠＝3t．
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考研数学二

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