2. 考研
  3. 设f(x)是区间[0，]上单调、可导的函数，且满足 ∫0f(x)f－1(t)dt=∫0xtdt， 其中f－1是f的反函数，求f(x)。

设f(x)是区间[0，]上单调、可导的函数，且满足 ∫0f(x)f－1(t)dt=∫0xtdt， 其中f－1是f的反函数，求f(x)。

admin2018-01-30  59
问题 设f(x)是区间[0，]上单调、可导的函数，且满足
∫0f(x)f－1(t)dt=∫0xtdt，
其中f－1是f的反函数，求f(x)。
选项
答案在∫0f(x)f－1(t)dt=∫0xt[*]dt 的两边同时对x求导得 f－1[f(x)]f’(x)=[*]， 也就是xf’(x)=[*]，即 f’(x)=[*]， 两边再分别积分得f(x)=ln｜sinx+cosx｜+C。 (*) 将x=0代入题中的已知方程可得 ∫0f(0)f－1(t)dt=∫00t[*]dt=0。 由于f(x)是区间[0，[*]]上单调、可导的函数，则f－1(x)的值域为[0，[*]]，且为单调非负的，所 以f(0)=0。代入(*)式可得C=0，故f(x)=ln｜sinx+cosx｜。
解析
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考研数学二

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