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设f(x)是区间[0,]上单调、可导的函数,且满足 ∫0f(x)f-1(t)dt=∫0xtdt, 其中f-1是f的反函数,求f(x)。
设f(x)是区间[0,]上单调、可导的函数,且满足 ∫0f(x)f-1(t)dt=∫0xtdt, 其中f-1是f的反函数,求f(x)。
admin
2018-01-30
17
问题
设f(x)是区间[0,
]上单调、可导的函数,且满足
∫
0
f(x)
f
-1
(t)dt=∫
0
x
t
dt,
其中f
-1
是f的反函数,求f(x)。
选项
答案
在∫
0
f(x)
f
-1
(t)dt=∫
0
x
t[*]dt 的两边同时对x求导得 f
-1
[f(x)]f
’
(x)=[*], 也就是xf
’
(x)=[*],即 f
’
(x)=[*], 两边再分别积分得f(x)=ln|sinx+cosx|+C。 (*) 将x=0代入题中的已知方程可得 ∫
0
f(0)
f
-1
(t)dt=∫
0
0
t[*]dt=0。 由于f(x)是区间[0,[*]]上单调、可导的函数,则f
-1
(x)的值域为[0,[*]],且为单调非负的,所 以f(0)=0。代入(*)式可得C=0,故f(x)=ln|sinx+cosx|。
解析
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考研数学二
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