2. 考研
  3. 设A，B均为n阶矩阵，且AB＝A＋B，则 (1)若A可逆，则B可逆； (2)若B可逆，则A＋B可逆； (3)若A＋B可逆，则AB可逆； (4)A－E恒可逆． 上述命题中，正确的命题共有( )

设A，B均为n阶矩阵，且AB＝A＋B，则 (1)若A可逆，则B可逆； (2)若B可逆，则A＋B可逆； (3)若A＋B可逆，则AB可逆； (4)A－E恒可逆． 上述命题中，正确的命题共有( )

admin2018-01-12  25
问题 设A，B均为n阶矩阵，且AB＝A＋B，则
    (1)若A可逆，则B可逆；
    (2)若B可逆，则A＋B可逆；
    (3)若A＋B可逆，则AB可逆；
    (4)A－E恒可逆．
    上述命题中，正确的命题共有(    )
选项 A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
答案D
解析 由AB＝A＋B，有(A－E)B＝A．若A可逆，则
    ｜(A－E)B｜＝｜A－E｜×｜B｜＝｜A｜≠0，
    知｜B｜≠0．即矩阵B可逆，从而命题(1)正确．
    应用命题(1)，由B可逆可得出A可逆，从而AB可逆，那么A＋B＝AB也可逆，故命题
    (2)正确．
    因为AB＝A+B，若A＋B可逆，则有AB可逆，即命题(3)正确．
    对于命题(4)，用分组因式分解，即
    AB－A－B＋E，则有(A－E)(B－E)＝E，
    所以得A－E恒可逆，命题(4)正确．
    所以应选D．
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考研数学一

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