设A,B均为n阶矩阵,且AB=A+B,则 (1)若A可逆,则B可逆; (2)若B可逆,则A+B可逆; (3)若A+B可逆,则AB可逆; (4)A-E恒可逆. 上述命题中,正确的命题共有( )

admin2018-01-12  14

问题 设A,B均为n阶矩阵,且AB=A+B,则
    (1)若A可逆,则B可逆;
    (2)若B可逆,则A+B可逆;
    (3)若A+B可逆,则AB可逆;
    (4)A-E恒可逆.
    上述命题中,正确的命题共有(    )

选项 A、1个
B、2个
C、3个
D、4个

答案D

解析 由AB=A+B,有(A-E)B=A.若A可逆,则
    |(A-E)B|=|A-E|×|B|=|A|≠0,
    知|B|≠0.即矩阵B可逆,从而命题(1)正确.
    应用命题(1),由B可逆可得出A可逆,从而AB可逆,那么A+B=AB也可逆,故命题
    (2)正确.
    因为AB=A+B,若A+B可逆,则有AB可逆,即命题(3)正确.
    对于命题(4),用分组因式分解,即
    AB-A-B+E,则有(A-E)(B-E)=E,
    所以得A-E恒可逆,命题(4)正确.
    所以应选D.
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