设y(x)是方程y(4)一y"=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．

admin2018-04-18 73

问题设y(x)是方程y⁽⁴⁾一y"=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．

选项

答案由泰勒公式 y(x)=y(0)+y’(0)x+[*]y"’(0)x³+o(x³) (x→0)．当x→0时，y(x)与x²同阶，即有y(0)=0，y’(0)=0，y"(0)=0，y"’(0)=C，其中C为非零常数．由这些初值条件，现将方程y⁽⁴⁾一y"=0两边积分得 ∫₀^xy⁽⁴⁾(t)dt—∫₀^xy"(t)dt=0，即y"’(x)一C—y’(x)=0，两边再积分得y"(x)一y(x)=Cx．易知，它有特解y^*=一Cx，因此它的通解是y=C₁e^x+C₂e^一x一Cx．由初值y(0)=0，y’(0)=0得 C₁+C₂=0，C₁一C₂=C，即C₁=[*]．因此最后得y=[[*](e^x—e^一x)一x]C，其中C为任意非零常数．

解析

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