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  3. 设y(x)是方程y(4)一y"=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．

设y(x)是方程y(4)一y"=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．

admin2018-04-18  41
问题 设y(x)是方程y(4)一y"=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．
选项
答案由泰勒公式 y(x)=y(0)+y’(0)x+[*]y"’(0)x3+o(x3) (x→0)． 当x→0时，y(x)与x2同阶，即有y(0)=0，y’(0)=0，y"(0)=0，y"’(0)=C，其中C为非零常数．由这些初值条件，现将方程y(4)一y"=0两边积分得 ∫0xy(4)(t)dt—∫0xy"(t)dt=0， 即y"’(x)一C—y’(x)=0，两边再积分得y"(x)一y(x)=Cx． 易知，它有特解y*=一Cx，因此它的通解是y=C1ex+C2e一x一Cx． 由初值y(0)=0，y’(0)=0得 C1+C2=0，C1一C2=C，即C1=[*]． 因此最后得y=[[*](ex—e一x)一x]C，其中C为任意非零常数．
解析
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考研数学二

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