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设f(x)是区间[0,+∞)上单调减少且非负的连续函数, 证明数列{an)的极限存在.
设f(x)是区间[0,+∞)上单调减少且非负的连续函数, 证明数列{an)的极限存在.
admin
2019-06-09
59
问题
设f(x)是区间[0,+∞)上单调减少且非负的连续函数,
证明数列{a
n
)的极限存在.
选项
答案
由题设可得f(k+1)≤∫
k
k+1
f(x)dx≤f(k)(k=1,2,…),因此有a
n+1
-a
n
=f(n+1)-∫
n
n+1
f(x)dx≤0,即数列{a
n
}单调下降. 又[*] 即数列{a
n
)有下界. 故由单调有界数列必有极限的准则知,数列{a
n
}的极限存在.
解析
[分析] 证明抽象数列{a
n
}的极限存在,一般用单调有界数列必有极限定理来判断.因此只需证明{a
n
)足单调(增加或减少)且有界(上界或下界)即可.
[评注] 本题的证明过程中,用到了
,这种处理技巧值得注意.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/OlV4777K
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