设f(x)是区间[0，＋∞)上单调减少且非负的连续函数，证明数列{an)的极限存在．

admin2019-06-09 49

问题设f(x)是区间[0，＋∞)上单调减少且非负的连续函数，

证明数列{a_n)的极限存在．

选项

答案由题设可得f(k＋1)≤∫_k^k＋1f(x)dx≤f(k)(k＝1，2，…)，因此有a_n＋1－a_n＝f(n＋1)－∫_n^n＋1f(x)dx≤0，即数列{a_n}单调下降．又[*] 即数列{a_n)有下界．故由单调有界数列必有极限的准则知，数列{a_n}的极限存在．

解析 [分析] 证明抽象数列{a_n}的极限存在，一般用单调有界数列必有极限定理来判断．因此只需证明{a_n)足单调(增加或减少)且有界(上界或下界)即可．
[评注] 本题的证明过程中，用到了

，这种处理技巧值得注意．

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考研数学二

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