2. 考研
  3. 设 为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵． 利用上一题的结果判断矩阵B－CTA－1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

设 为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵． 利用上一题的结果判断矩阵B－CTA－1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

admin2017-06-14  62
问题 设

为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．
利用上一题的结果判断矩阵B－CTA－1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．
选项
答案矩阵B－CTA－1C是正定矩阵． 由上一题的结果可知，矩阵D合同于矩阵 [*] 又D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵． 因矩阵M为对称矩阵，故B－CTA－1C为对称矩阵．对X=(0，0，…，0)T及任意的Y=(y1，y2，…，yn)T≠0，有 (XT，YT)[*]=YT(B—CTA－1C)Y＞0．故B－CTA－1c为正定矩阵．
解析 判定正定矩阵的典型方法有：(1)用顺序主子式全大于零的方法；(2)用特征值全大于零的方法；(3)用定义的方法．对于抽象矩阵，一般用后两种方法．
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考研数学一

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