2. 考研
  3. 设随机变量X，Y独立同分布，且P(X＝i)＝，i＝1，2，3． 设随机变量U＝max{X，Y}，V＝min{X，Y}． (1)求二维随机变量(U，V)的联合分布；(2)求Z＝UV的分布； (3)判断U，V是否相互独立? (4)求P(U＝V)．

设随机变量X，Y独立同分布，且P(X＝i)＝，i＝1，2，3． 设随机变量U＝max{X，Y}，V＝min{X，Y}． (1)求二维随机变量(U，V)的联合分布；(2)求Z＝UV的分布； (3)判断U，V是否相互独立? (4)求P(U＝V)．

admin2018-01-23  13
问题 设随机变量X，Y独立同分布，且P(X＝i)＝，i＝1，2，3．
设随机变量U＝max{X，Y}，V＝min{X，Y}．
(1)求二维随机变量(U，V)的联合分布；(2)求Z＝UV的分布；
(3)判断U，V是否相互独立? (4)求P(U＝V)．
选项
答案(1)由于X，Y相互独立，所以 P(U＝V＝i)＝P(X＝i，Y＝i)＝P(X＝i)P(Y＝i)＝[*]，i＝1,2,3； P(U＝2，V＝1)＝P(X＝2，Y＝1)＋P(X＝1，Y＝2)＝[*]； P(U＝3，V＝1)＝P(X＝3，Y＝1)＋P(X＝1，Y＝3)＝[*]； P(U＝3，V＝2)＝P(X＝3，Y＝2)＋P(X＝2，Y＝3)＝[*]； P(U＝1，V＝2)＝P(U＝1，V＝3)＝P(U＝2，V＝3)＝0． 所以(U，V)的联合分布律为 [*] (2)P(Z＝1)＝P(UV＝1)＝P(U＝1，V＝1)＝[*]； P(Z＝2)＝P(UV＝2)＝P(U＝1，V＝2)＋P(U＝2，V＝1)＝[*]； P(Z＝3)＝P(UV＝3)＝P(U＝1，V＝3)＋P(U＝3，V＝1)＝[*]； P(Z＝4)＝P(UV＝4)＝P(U＝2，V＝2)＝[*]； P(Z＝6)＝P(UV＝6)＝P(U＝2，V＝3)＋P(U＝3，V＝2)＝[*]． P(Z＝9)＝P(UV＝9)＝P(U＝3，V＝3)＝[*]．所以X的分布律为 [*] (3)由于P(U＝1)＝P(X＝1，Y＝1)＝[*]， P(V＝1)＝P(X＝1，Y＝1)＋P(X＝2，Y＝1)＋P(X＝3，Y＝1)＋P(X＝1，Y＝2) ＋P(X＝1，Y＝3)＝[*] 而P(U＝1)P(V＝1)＝[*]≠P(U＝1，V＝1)＝[*]，所以U，V不相互独立． (4)P(U＝V)＝P(U＝1，V＝1)＋P(U＝2，V＝2)＋P(U＝3，V＝3)＝[*]．
解析
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考研数学三

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