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设随机变量X,Y独立同分布,且P(X=i)=,i=1,2,3. 设随机变量U=max{X,Y},V=min{X,Y}. (1)求二维随机变量(U,V)的联合分布;(2)求Z=UV的分布; (3)判断U,V是否相互独立? (4)求P(U=V).
设随机变量X,Y独立同分布,且P(X=i)=,i=1,2,3. 设随机变量U=max{X,Y},V=min{X,Y}. (1)求二维随机变量(U,V)的联合分布;(2)求Z=UV的分布; (3)判断U,V是否相互独立? (4)求P(U=V).
admin
2018-01-23
23
问题
设随机变量X,Y独立同分布,且P(X=i)=
,i=1,2,3.
设随机变量U=max{X,Y},V=min{X,Y}.
(1)求二维随机变量(U,V)的联合分布;(2)求Z=UV的分布;
(3)判断U,V是否相互独立? (4)求P(U=V).
选项
答案
(1)由于X,Y相互独立,所以 P(U=V=i)=P(X=i,Y=i)=P(X=i)P(Y=i)=[*],i=1,2,3; P(U=2,V=1)=P(X=2,Y=1)+P(X=1,Y=2)=[*]; P(U=3,V=1)=P(X=3,Y=1)+P(X=1,Y=3)=[*]; P(U=3,V=2)=P(X=3,Y=2)+P(X=2,Y=3)=[*]; P(U=1,V=2)=P(U=1,V=3)=P(U=2,V=3)=0. 所以(U,V)的联合分布律为 [*] (2)P(Z=1)=P(UV=1)=P(U=1,V=1)=[*]; P(Z=2)=P(UV=2)=P(U=1,V=2)+P(U=2,V=1)=[*]; P(Z=3)=P(UV=3)=P(U=1,V=3)+P(U=3,V=1)=[*]; P(Z=4)=P(UV=4)=P(U=2,V=2)=[*]; P(Z=6)=P(UV=6)=P(U=2,V=3)+P(U=3,V=2)=[*]. P(Z=9)=P(UV=9)=P(U=3,V=3)=[*].所以X的分布律为 [*] (3)由于P(U=1)=P(X=1,Y=1)=[*], P(V=1)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=1)+P(X=3,Y=1)+P(X=1,Y=2) +P(X=1,Y=3)=[*] 而P(U=1)P(V=1)=[*]≠P(U=1,V=1)=[*],所以U,V不相互独立. (4)P(U=V)=P(U=1,V=1)+P(U=2,V=2)+P(U=3,V=3)=[*].
解析
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考研数学三
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