设函数φ(x)在(一∞，+∞)内连续，周期为1，且函数f(x)在[0，1]上有连续导数，设证明：级数收敛．

admin2020-05-02 15

问题设函数φ(x)在(一∞，+∞)内连续，周期为1，且

函数f(x)在[0，1]上有连续导数，设

证明：级数

收敛．

选项

答案由已知条件，有[*] 令[*]则F(x)是周期为1的周期函数，且F′(nx)=φ(nx)，F(0)=F(n)=0，因此 [*] 因为F(x)是连续的周期函数，所以F(x)有界，即存在M₁＞0，使得对任意的x∈(－∞，+∞)，有|F(x)|≤M，即|F(nx)|≤M．又因为f′(x)在[0，1]上连续，所以存在M₂＞0，使得对任意的x∈(0，1)，有|f′(x)|≤M₂，进而 [*] 于是[*]由正项级数比较法知[*]收敛．

解析

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考研数学一

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