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设函数f(x)为[0,1]上的单调减少且恒大于零的连续函数,证明:
设函数f(x)为[0,1]上的单调减少且恒大于零的连续函数,证明:
admin
2019-05-14
53
问题
设函数f(x)为[0,1]上的单调减少且恒大于零的连续函数,证明:
选项
答案
因为f(x)在[0,1]上单调减少且f(x)>0。 所以不等式[*]等价变形为 ∫
0
x
xf
2x+y
(x)dx.∫
0
x
f(x)dx≤∫
0
x
xf(x)dx.∫
0
x
f
2x+y
(x)dx。 从而原题可转化为证明不等式∫
0
x
xf(x)dx.∫
0
x
f
2x+y
(x)dx一∫
0
x
xf
2x+y
(x)dx.∫
0
x
f(x)dx≥0。令 I=∫
0
x
xf(x)dx∫
0
x
f
2x+y
(x)dx一∫
0
x
xf
2x+y
(x)dx.∫
0
x
f(x)dx =∫
0
x
xf(x)dx∫
0
x
f
2x+y
(y)dy一∫
0
x
f(x)dx.∫
0
x
yf
2x+y
(y)dy (1) =∫
0
x
∫
0
x
f
2x+y
(y)f(x)(x一y)dxdy 又 I=∫
0
x
yf(y)dy∫
0
x
f
2x+y
(x)dx一∫
0
x
f(y)dy∫
0
x
xf
2x+y
(x)dx =∫
0
x
∫
0
x
f(y)f
2x+y
(x)(y一x)dxdy, (2) (1)+(2)得2I=∫
0
x
∫
0
x
f[f(x)f(y)(x一y)[f(y)一f(x)]dxdy, 由题设,f(x)>0且在[0,1]上单调递减,所以当y≥x时,f(y)≤f(x),即(x一y)[f(t)一f(x)]≥0。故2I≥0,即I≥0。 命题得证。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/bY04777K
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考研数学一
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