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  3. 求经过直线且与椭球面S：x2+2y2+3z2=21相切的切平面方程．

求经过直线且与椭球面S：x2+2y2+3z2=21相切的切平面方程．

admin2019-07-19  15
问题 求经过直线且与椭球面S：x2+2y2+3z2=21相切的切平面方程．
选项
答案方法一 设切点为M(x0，y0，z0)，于是S在点M处的法向量n=(2x0，4y0，6z0)，切 平面方程为 2x0(x-x0)+4y0(y-y0)+6z0(z-z0)=0． 再利用S的方程化简得 x0x+2y0y+3z0z=21． 在L上任取两点，例如点[*]，代入上式得 [*] 再由S的方程[*]，联立解得切点(3，0，2)与(1，2，2)，故得切平面方程为x+2z=7和x+4y+6z=21． 方法二 直线L的方程可写成x-2y=0，x+2z-7=0．经过L的平面束方程可写成 x-2y+λ(x+2z-7)=0， ① 即 (1+λ)x-2y+2λz-7λ=0． 椭球面S在点M(x0，y0，z0)的法向量为n=(2x0，4y0，6z0)，于是有 [*] 又M在S上，又在切平面上，故有 [*] 及 (1+λ)x0=2y0+2λz0-7λ=0， ④ 由式②、③、④联立解得[*]，x0=1，y0=2，z0=2．于是得切平面方程x+4y+6z=21． 但注意，采用平面束方程①时，它并不包括方程x+2z-7=0在内．它是否也是适合条件的另一解呢?为此，有两个办法来进一步检查．一是将平面束方程写成 x+2z-7+μ(x-2y)=0， 按上述办法重新做一遍，得μ=0，即x+2z-7=0也是解． 另一办法是，将x+2z-7=0与S：x2+2y2+3z2=21联立，得2y2+7(z-2)2=0，得y0=0，z0=2，从而x0=3．点(x0，y0，z0)=(3，0，2)在平面x+2z-7=0上，也在曲面S：x2+2y2+3z2=21上，并且在该点处，两者的法向量(1，0，2)与(6，0，12)平行，故平面x+2z-7=0与曲面S的确在点(3，0，2)处相切，前者也是后者的一个切平面．得二解．
解析
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考研数学一

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