求曲线积分I=∫C(x+y)dx+(3x+y)dy+zdz,其中C为闭曲线x=asin2t,y=2acostsint,z=acos2t(0≤t≤π),C的方向按t从0到π的方向.

admin2018-11-22  36

问题 求曲线积分I=∫C(x+y)dx+(3x+y)dy+zdz,其中C为闭曲线x=asin2t,y=2acostsint,z=acos2t(0≤t≤π),C的方向按t从0到π的方向.

选项

答案曲线C的参数方程已给出 x=x(t)=asin2t,y=y(t)=asin2t,z=acos2t,t∈[0,π], 于是直接化成定积分 I=∫0πx(t)dx(t)+y(t)dx(t)+x(t)dy(t)+2x(t)dy(t)+y(t)dy(t)+z(t)dz(t) =[[*]z2(t)]|0π+∫0π[2asin2td(asin2t) =0+2a2sin2tsin2t|0π一2a20πsin22tdt=一a20sin2tdt=一πa2

解析
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