2. 考研
  3. 设随机点(X，Y)在单位圆内的联合密度为 (Ⅰ)求常数C； (Ⅱ)判断X，Y的独立性与相关性； (Ⅲ)设随机点的极坐标为(R，θ)，求(R，θ)的联合密度，并判断R，θ的独立性．

设随机点(X，Y)在单位圆内的联合密度为 (Ⅰ)求常数C； (Ⅱ)判断X，Y的独立性与相关性； (Ⅲ)设随机点的极坐标为(R，θ)，求(R，θ)的联合密度，并判断R，θ的独立性．

admin2018-11-22  28
问题 设随机点(X，Y)在单位圆内的联合密度为

    (Ⅰ)求常数C；
    (Ⅱ)判断X，Y的独立性与相关性；
    (Ⅲ)设随机点的极坐标为(R，θ)，求(R，θ)的联合密度，并判断R，θ的独立性．
选项
答案[*] 由于fX.fY(y)≠f(χ，y)，所X，Y不独立． 又E＝∫－∞＋∞χf(χ)dχ＝[*]＝0，(对称区间奇函数) EXY＝∫－∞＋∞χyf(χ，y)dχdy＝[*](1－χ2－y2)dχdy＝0， 所以cov(X，Y)＝EXY－EX.EY＝0．由此可知X、Y既不独立，也不相关． (Ⅲ)直角坐标到极坐标的变换χ＝rcosθ，y＝rsinθ，其雅可比行列式J＝r，故(R，θ)的联合密度为 [*] 由于f(r，θ)＝fR(r).fθ)，故随机变量R，θ相互独立．
解析
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考研数学一

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