设总体X的概率密度为f(x；θ)=其中θ＞0是未知参数．从总体中抽取简单随机样本X1，X2，…，Xn， (I)求θ的最大似然估计量； (Ⅱ)求随机变量的分布函数； (Ⅲ)求随机变量的数学期望．

admin2020-09-23 60

问题设总体X的概率密度为f(x；θ)=

其中θ＞0是未知参数．从总体中抽取简单随机样本X₁，X₂，…，X_n，
(I)求θ的最大似然估计量

；
(Ⅱ)求随机变量

的分布函数

；
(Ⅲ)求随机变量

的数学期望

．

选项

答案(I)样本的似然函数为 [*] 取对数，得[*] 因为[*]，则L(θ)是θ的单调增函数，又因为θ＜x₁，θ＜x₂，…，θ＜x_n，所以当θ=min{x₁，x₂，…，x_n}时L(θ)最大．故θ的最大似然估计量[*]=min{X₁，X₂，…，X_n}． (Ⅱ)总体X的分布函数为F_X(x)=∫_-∞^xf(t；θ)dt．当x≤θ时，F_X(x)=0；当x＞0时，F_X(x)=∫_θ^x2e^-2(t-θ)dt=1-e^-2(x-θ)，故总体X的分布函数F_X(x)为 [*] [*]的分布函数为 [*]=P{min{X₁，X₂，…，X_n}≤x}=1一P(min{X₁，X₂，…，X_n}＞x} =1一P{X₁＞x)P{X₂＞x}.….P{X_n＞x}=1一[1一F_X(x)]ⁿ [*] (Ⅲ)由(Ⅱ)知，[*]的概率密度为 [*] 故随机变量[*]的数学期望为 [*]

解析

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考研数学一

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设总体X的概率密度为f(x；θ)=其中θ＞0是未知参数．从总体中抽取简单随机样本X1，X2，…，Xn， (I)求θ的最大似然估计量； (Ⅱ)求随机变量的分布函数； (Ⅲ)求随机变量的数学期望．

考研数学一

[2009年]设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3—2x2x3．若二次型f(x1，x2，x3)的规范形为y12+y22，求a的值．

求θ的极大似然估计量．

设A=(aij)3×3是实正交矩阵，且a11=1，b=(1，0，0)T，则线性方程组Ax=b的解是_________．

适当取函数φ(x)，作变量代换y=φ(x)u，将y关于x的微分方程化为u关于x的二阶常系数线性齐次微分方程+λu=0，求φ(x)及常数λ，并求原方程满足y’(0)=1，y’(0)=0的特解。

设函数f(x)在[0，π]上连续，且＝0，试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)＝f(ξ2)＝0．

设有空间区域Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0及Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0，则()．

设函数且1+bx＞0，则当f(x)在x=0处可导时，f’(0)=______．

已知当X→0时，是xn的同阶无穷小量，则n=__________．

设Ω是球体：(x－a)2+(y－b)2+(z－c)2≤R2，则(x+y+z)dV=__________．

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