设A，B均为n阶矩阵，A可逆，且A～B，则下列命题中 ①AB～BA； ②A2～B2； ③AT～BT； ④A—1～B—1。正确的个数为( )

admin2020-03-01 36

问题设A，B均为n阶矩阵，A可逆，且A～B，则下列命题中
①AB～BA； ②A²～B²；
③A^T～B^T； ④A^—1～B^—1。
正确的个数为( )

选项 A、1。
B、2。
C、3。
D、4。

答案D

解析因A～B，可知存在可逆矩阵P，使得P^—1AP=B，于是
P^—1A²P=B²，P^TA^T(P^T)^—1=B^T，P^—1A^—1P=B^—1，
故 A²～B²，A^T～B^T，A^—1～B^—1。
又由于A可逆，可知A^—1(AB)A=BA，即AB～BA。即正确的命题有四个。故选D。

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考研数学二

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