设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关．问： α1能否由α2，α3线性表示?证明你的结论．

admin2019-05-10 52

问题设向量组α₁，α₂，α₃线性相关，向量组α₂，α₃，α₄线性无关．问：
α₁能否由α₂，α₃线性表示?证明你的结论．

选项

答案利用命题2．3．1．1判别．能．证一因α₂，α₃，α₄线性无关，则α₂，α₃线性无关，而α₁，α₂，α₃线性相关，由命题2．3．1．1知，α₁可唯一地由α₂，α₃线性表示．证二因α₁，α₂，α₃线性相关，故存在不全为零的数k₁，k₂，k₃，使k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0，则k₁≠0．因为如果k₁=0，则k₂，k₃不全为零，且有k₂α₂+k₃α₃=0，从而α₂，α₃线性相关，故α₂，α₃，α₄也线性相关，这与已知条件矛盾，故k₁≠0，于是α₁=一(k₂／k₁)α₂一(k₃／k₁)α₃．

解析

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考研数学二

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