某闸门的形状与大小如图1—3—7所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段AB所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高应为多少米?

admin2019-08-01 94

问题某闸门的形状与大小如图1—3—7所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段AB所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高应为多少米?

选项

答案[详解1] 设ρ为水的密度，g为重力加速度．如图1—3—8建立坐标系，则抛物线的方程为 y＝x²．闸门的矩形部分承受的水压力 [*] 闸门的下部承受的水压力 [*] 由题设知[*]，解得h＝2，[*](舍去)．故闸门的矩形部分高h应为2米． [*] [详解2] 如图1—3—9建立坐标系，则抛物线的方程为x＝h＋1－y²．闸门的矩形部分承受的水压力 [*]。闸门的下部承受的水压力 [*]，令[*]，得 [*] 由[*]，解得h＝2，[*](舍去)。故闸门的矩形部分高h应为2米． [*]

解析 [分析] 先利用定积分求出两部分所受的水压力的表达式，再根据二者的关系确定h．
[评注] 本题是定积分的应用题型之一，关键是建立适当的坐标系，用微元法找出水压力的表达式．

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考研数学二

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考研数学二

设有定义在(-∞，+∞)上的函数：以x=0为第二类间断点的函数是________．

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已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1，α2，α3是相应的特征向量且线性无关，如α1+α2+α3仍是A的特征向量，则λ1=λ2=λ3．

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设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，证明：∈(a，b)使得f(b)-(b-a)2f’’(ξ)．

用配方法化二次型f(x1，x2，x3)=x12+x2x3为标准二次型．

用配方法化下列二次型为标准形：f(x1，x2，x3)=2x1x2+2x1x3+6x2x3

试用配方法化二次型f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+x32+4x1x2—4x1x3—8x2x3为标准形和规范形，写出相应的可逆线性变换矩阵，并求二次型的秩及正、负惯性指数。

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设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，证明：∈(a，b)使得f(b)-(b-a)2f’’(ξ)．

用配方法化二次型f(x1，x2，x3)=x12+x2x3为标准二次型．

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