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设f(x)在[a,b]上连续,且f’’(x)>0,对任意的x1,x2∈[a,b]及0<λ<1,证明:f[λx1+(1-λ)x2]≤λ
设f(x)在[a,b]上连续,且f’’(x)>0,对任意的x1,x2∈[a,b]及0<λ<1,证明:f[λx1+(1-λ)x2]≤λ
admin
2019-02-23
58
问题
设f(x)在[a,b]上连续,且f’’(x)>0,对任意的x
1
,x
2
∈[a,b]及0<λ<1,证明:f[λx
1
+(1-λ)x
2
]≤λ
选项
答案
不妨设a≤b,由微分中值定理,存在ξ
1
∈(0,a),ξ
2
∈(b,a+b),使得 [*] 两式相减得f(a+b)-f(a)-f(b)=[f’(ξ
2
)-f’(ξ
1
)]a. 因为f’’(x)>0,所以f’(x)单调增加,而ξ
1
<ξ
2
,所以f’(ξ
1
)<f’(ξ
2
), 故f(a+b)-f(a)-f(b)=[f’(ξ
2
)=f’(ξ
1
)]a>0,即 f(a+b)>f(a)+f(b).
解析
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0
考研数学二
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