设曲线y=ax2(a＞0，x≥0)与y=1－x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形。问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?

admin2018-04-14 57

问题设曲线y=ax²(a＞0，x≥0)与y=1－x²交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax²围成一平面图形。问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?

选项

答案首先联立两式，求直线与曲线的交点：1－x²=ax²，得：x=±[*]，而x≥0，则交点坐标为：(x，y)=([*])。由点斜式，故直线OA的方程为y=[*] 由旋转体体积公式V=π∫_a^bf²(x)dx，要求的体积就是用大体积减去小体积： [*] 为了求V的最大值，对函数关于a求导， [*] 令dV／da=0，得唯一驻点a=4，所以a=4也是V的最大值点，最大体积为V|_a=4=[*]π。

解析

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考研数学二

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设曲线y=ax2(a＞0，x≥0)与y=1－x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形。问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?

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