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设曲线y=ax2(a>0,x≥0)与y=1-x2交于点A,过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形。问a为何值时,该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?
设曲线y=ax2(a>0,x≥0)与y=1-x2交于点A,过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形。问a为何值时,该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?
admin
2018-04-14
65
问题
设曲线y=ax
2
(a>0,x≥0)与y=1-x
2
交于点A,过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax
2
围成一平面图形。问a为何值时,该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?
选项
答案
首先联立两式,求直线与曲线的交点:1-x
2
=ax
2
,得:x=±[*],而x≥0,则交点坐标为:(x,y)=([*])。由点斜式,故直线OA的方程为y=[*] 由旋转体体积公式V=π∫
a
b
f
2
(x)dx,要求的体积就是用大体积减去小体积: [*] 为了求V的最大值,对函数关于a求导, [*] 令dV/da=0,得唯一驻点a=4,所以a=4也是V的最大值点,最大体积为V|
a=4
=[*]π。
解析
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考研数学二
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