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  3. 设fn(x)=1－(1－cosx)n，求证： (1)对于任意正整数n，fn(x)=中仅有一根； (2)设有xn∈

设fn(x)=1－(1－cosx)n，求证： (1)对于任意正整数n，fn(x)=中仅有一根； (2)设有xn∈

admin2016-09-13  97
问题 设fn(x)=1－(1－cosx)n，求证：
(1)对于任意正整数n，fn(x)=中仅有一根；
(2)设有xn∈
选项
答案(1)因为fn(x)连续，又有fn(0)=1，fn([*])=0，所以由介值定理知[*]，使得fn(ξ)=[*]．又因为fˊn(x)=－n(1－cosx)n－1sinx＜0，x∈(0，[*])，所以fn(x)在(0，[*])内严格单调减少．因此，满足方程fn(x)=[*]的根是唯一的，即fn(x)=[*]中仅有一根． (2)因为[*] 由保号性知，[*]N＞0，当n＞N时，有[*] 由fn(x)的单调减少性质知[*]
解析
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考研数学三

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