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设fn(x)=1-(1-cosx)n,求证: (1)对于任意正整数n,fn(x)=中仅有一根; (2)设有xn∈
设fn(x)=1-(1-cosx)n,求证: (1)对于任意正整数n,fn(x)=中仅有一根; (2)设有xn∈
admin
2016-09-13
101
问题
设f
n
(x)=1-(1-cosx)
n
,求证:
(1)对于任意正整数n,f
n
(x)=
中仅有一根;
(2)设有x
n
∈
选项
答案
(1)因为f
n
(x)连续,又有f
n
(0)=1,f
n
([*])=0,所以由介值定理知[*],使得f
n
(ξ)=[*].又因为fˊ
n
(x)=-n(1-cosx)
n-1
sinx<0,x∈(0,[*]),所以f
n
(x)在(0,[*])内严格单调减少.因此,满足方程f
n
(x)=[*]的根是唯一的,即f
n
(x)=[*]中仅有一根. (2)因为[*] 由保号性知,[*]N>0,当n>N时,有[*] 由f
n
(x)的单调减少性质知[*]
解析
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考研数学三
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