2. 考研
  3. 设α1＝(1，2，0)T，α2＝(1，a＋2，－3a)T，α3＝(－1，－b－2，a＋2b)T，β＝(1，3，－3)T．试讨论当a，b为何值时， (1)β不能用α1，α2，α3线性表示； (2)β能用α1，α2，α3唯一地线性表示，求表示式

设α1＝(1，2，0)T，α2＝(1，a＋2，－3a)T，α3＝(－1，－b－2，a＋2b)T，β＝(1，3，－3)T．试讨论当a，b为何值时， (1)β不能用α1，α2，α3线性表示； (2)β能用α1，α2，α3唯一地线性表示，求表示式

admin2020-03-05  11
问题 设α1＝(1，2，0)T，α2＝(1，a＋2，－3a)T，α3＝(－1，－b－2，a＋2b)T，β＝(1，3，－3)T．试讨论当a，b为何值时，
    (1)β不能用α1，α2，α3线性表示；
    (2)β能用α1，α2，α3唯一地线性表示，求表示式；
    (3)β能用α1，α2，α3线性表示，且表示式不唯一，求表示式的一般形式．
选项
答案记A＝(α1，α2，α3)，则问题化为线性方程组AX＝β解的情形的讨论及求解问题了． [*] (1)a＝0(b任意)时 [*] 方程组AX＝β无解，β不能用α1，α2，α3线性表示． (2)当a≠0，a≠b时，r(A｜β)＝r(A)＝3，方程组AX＝β有唯一解，即β可用α1，α2，α3唯一 表示． [*] AX＝β的解为([*]，－1，0)T，于是β＝[*]． (3)当a＝b≠0时r(A｜β)＝r(a)＝2，AX＝β有无穷多解，即β可用α1，α2，α3线性表示，且表示式不唯一． [*] AX＝β有特解([*]，0)T，而(0，1，1)T构成AX＝0的基础解系，AX＝β的通解为 ([*]，0)T＋c(0，1，1)T，c任意． 即β＝[*]α2＋cα3，c任意．
解析
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考研数学一

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