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已知二次型f(x1,x2,x3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a>0),若二次型f的标准形为f=y12+2y22+5y32,求a的值及所使用的正交变换矩阵。
已知二次型f(x1,x2,x3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a>0),若二次型f的标准形为f=y12+2y22+5y32,求a的值及所使用的正交变换矩阵。
admin
2020-02-28
50
问题
已知二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=2x
1
2
+3x
2
2
+3x
3
2
+2ax
2
x
3
(a>0),若二次型f的标准形为f=y
1
2
+2y
2
2
+5y
3
2
,求a的值及所使用的正交变换矩阵。
选项
答案
二次型f的矩阵[*], 特征方程为 |λE-A|=(λ-2)(λ
2
-6λ+9-a
2
)=0, 由标准形可知,A的特征值为λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=5。 将λ=1代入特征方程,得a
2
-4=0,由a>0可知a=2,此时 [*] 解(λ
i
E-A)x=0,得到特征值λ
i
(i=1,2,3)对应的特征向量分别为 α
1
=(0,1,-1)
T
,α
2
=(1,0,0)
T
,α
3
=(0,1,1)
T
。 由于实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必正交,故只需将α
1
,α
2
,α
3
单位化, [*] 故所用的正交变换矩阵为 [*]
解析
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0
考研数学二
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