已知二次型f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)，若二次型f的标准形为f=y12+2y22+5y32，求a的值及所使用的正交变换矩阵。

admin2020-02-28 53

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=2x₁²+3x₂²+3x₃²+2ax₂x₃(a＞0)，若二次型f的标准形为f=y₁²+2y₂²+5y₃²，求a的值及所使用的正交变换矩阵。

选项

答案二次型f的矩阵[*]，特征方程为｜λE-A｜=(λ-2)(λ²-6λ+9-a²)=0，由标准形可知，A的特征值为λ₁=1，λ₂=2，λ₃=5。将λ=1代入特征方程，得a²-4=0，由a＞0可知a=2，此时 [*] 解(λ_iE-A)x=0，得到特征值λ_i(i=1，2，3)对应的特征向量分别为 α₁=(0，1，-1)^T，α₂=(1，0，0)^T，α₃=(0，1，1)^T。由于实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必正交，故只需将α₁，α₂，α₃单位化， [*] 故所用的正交变换矩阵为 [*]

解析

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考研数学二

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已知二次型f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)，若二次型f的标准形为f=y12+2y22+5y32，求a的值及所使用的正交变换矩阵。

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设矩阵(1)已知A的一个特征值为3，试求y；(2)求矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵．

设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=O，其中求矩阵A．

设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=O，其中求正交变换X=QY将二次型化为标准形；

设函数f(x，y)连续，且其中D由，x=1，y=2围成，求f(x，y)．

设A，B都是对称矩阵，并且E＋AB可逆，证明(E＋AB)-1A是对称矩阵．

设A为n阶实对称可逆矩阵，f(x1，x2，…，xn)=记X=(x1，x2，…，xn)T，把二次型f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式；

(2013年)设封闭曲线L的极坐标方程为r＝cos3θ，则L所围平面图形的面积是________．

曲线y=x(x-1)(2-x)与x轴所围成的图形面积可表示为()．

在曲线y=x2(0≤x≤1)上取一点(t，t2)(0＜t＜1)，设A1是由曲线y=x2(0≤x≤1)，直线y=t2和x=0所围成图形的面积；A2是由曲线y=x2(0≤x≤1)，直线y=t2和x=1所围成图形的面积，则t取_______时，A=A1+A2取最

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