2. 考研
  3. 已知二次型f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)，若二次型f的标准形为f=y12+2y22+5y32，求a的值及所使用的正交变换矩阵。

已知二次型f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)，若二次型f的标准形为f=y12+2y22+5y32，求a的值及所使用的正交变换矩阵。

admin2020-02-28  58
问题 已知二次型f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)，若二次型f的标准形为f=y12+2y22+5y32，求a的值及所使用的正交变换矩阵。
选项
答案二次型f的矩阵[*]， 特征方程为 ｜λE-A｜=(λ-2)(λ2-6λ+9-a2)=0， 由标准形可知，A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=5。 将λ=1代入特征方程，得a2-4=0，由a＞0可知a=2，此时 [*] 解(λiE-A)x=0，得到特征值λi(i=1，2，3)对应的特征向量分别为 α1=(0，1，-1)T，α2=(1，0，0)T，α3=(0，1，1)T。 由于实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必正交，故只需将α1，α2，α3单位化， [*] 故所用的正交变换矩阵为 [*]
解析
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考研数学二

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