已知二次型f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)，若二次型f的标准形为f=y12+2y22+5y32，求a的值及所使用的正交变换矩阵。

admin2020-02-28 63

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=2x₁²+3x₂²+3x₃²+2ax₂x₃(a＞0)，若二次型f的标准形为f=y₁²+2y₂²+5y₃²，求a的值及所使用的正交变换矩阵。

选项

答案二次型f的矩阵[*]，特征方程为｜λE-A｜=(λ-2)(λ²-6λ+9-a²)=0，由标准形可知，A的特征值为λ₁=1，λ₂=2，λ₃=5。将λ=1代入特征方程，得a²-4=0，由a＞0可知a=2，此时 [*] 解(λ_iE-A)x=0，得到特征值λ_i(i=1，2，3)对应的特征向量分别为 α₁=(0，1，-1)^T，α₂=(1，0，0)^T，α₃=(0，1，1)^T。由于实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必正交，故只需将α₁，α₂，α₃单位化， [*] 故所用的正交变换矩阵为 [*]

解析

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考研数学二

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已知二次型f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)，若二次型f的标准形为f=y12+2y22+5y32，求a的值及所使用的正交变换矩阵。

考研数学二

设f(x)=3x2+Ax-3(x>0)，A为正常数，问A至少为多少时，f(x)≥20?

设函数f(x，y)连续，且其中D由，x=1，y=2围成，求f(x，y)．

已知两个线性方程组同解，求m，n，t．

设由sinχy＋ln(y－χ)＝χ确定函数y＝y(χ)，求y′(0)．

设x3-3xy+y3=3确定y为x的函数，求函数y=y(x)的极值点．

设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一S2

设半径为R的球面S的球心在定球面x2+y2+z2=a2(a>0)上，问R取何值时，球面S在定球面内的面积最大?

曲线y=x(x-1)(2-x)与x轴所围成的图形面积可表示为()．

在曲线y=x2(0≤x≤1)上取一点(t，t2)(0＜t＜1)，设A1是由曲线y=x2(0≤x≤1)，直线y=t2和x=0所围成图形的面积；A2是由曲线y=x2(0≤x≤1)，直线y=t2和x=1所围成图形的面积，则t取_______时，A=A1+A2取最

由曲线和直线y=x及y=4x在第一象限中围成的平面图形的面积为______。

女，34岁，风心病二尖瓣狭窄伴快速房颤，呼吸困难，难以平卧，咳白色泡沫样痰，两肺底有湿罗音及哮鸣音，血压110/70mmHg，用毛花苷丙经静脉注射，效果不显著．宜改为

用感官获取病人阳性体征的手段是

粉红色澄明注射剂是

桥梁盆式支座试验，要求卸载后残余变形不得超过支座设计荷载下相应变形的3％。()

(2009年)1mol刚性双原子理想气体，当温度为T时，每个分子的平均平动动能为()。

负责颁发和管理中央级建筑施工企业安全生产许可证的是(　　)。

十月革命后，布尔什维克党为战胜国内外敌人的颠覆，集中有限的物力用于战争，在农村实施了()。

日本的庄园和西欧封建社会的庄园有何异同。

设f(x)为可导的偶函数，满足=2，则曲线y=f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程为________。

SydneyOperaHousemustbeoneofthemostrecognizableimagesofthemodernworld—uptherewiththeEiffelTowerandtheEmpire

已知二次型f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)，若二次型f的标准形为f=y12+2y22+5y32，求a的值及所使用的正交变换矩阵。

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设函数f(x，y)连续，且其中D由，x=1，y=2围成，求f(x，y)．

已知两个线性方程组同解，求m，n，t．

设由sinχy＋ln(y－χ)＝χ确定函数y＝y(χ)，求y′(0)．

设x3-3xy+y3=3确定y为x的函数，求函数y=y(x)的极值点．

设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一S2

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在曲线y=x2(0≤x≤1)上取一点(t，t2)(0＜t＜1)，设A1是由曲线y=x2(0≤x≤1)，直线y=t2和x=0所围成图形的面积；A2是由曲线y=x2(0≤x≤1)，直线y=t2和x=1所围成图形的面积，则t取_______时，A=A1+A2取最

由曲线和直线y=x及y=4x在第一象限中围成的平面图形的面积为______。

女，34岁，风心病二尖瓣狭窄伴快速房颤，呼吸困难，难以平卧，咳白色泡沫样痰，两肺底有湿罗音及哮鸣音，血压110/70mmHg，用毛花苷丙经静脉注射，效果不显著．宜改为

用感官获取病人阳性体征的手段是

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桥梁盆式支座试验，要求卸载后残余变形不得超过支座设计荷载下相应变形的3％。()

(2009年)1mol刚性双原子理想气体，当温度为T时，每个分子的平均平动动能为()。

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十月革命后，布尔什维克党为战胜国内外敌人的颠覆，集中有限的物力用于战争，在农村实施了()。

日本的庄园和西欧封建社会的庄园有何异同。

设f(x)为可导的偶函数，满足=2，则曲线y=f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程为________。

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负责颁发和管理中央级建筑施工企业安全生产许可证的是(　　)。