已知n阶矩阵A满足A3=E． (1)证明A2-2A-3E可逆． (2)证明A2+A+2E可逆．

admin2019-02-23 43

问题已知n阶矩阵A满足A³=E．
(1)证明A²-2A-3E可逆．
(2)证明A²+A+2E可逆．

选项

答案通过特征值来证明，矩阵可逆的充要条件是0不是它的特征值．由于A³=E，A的特征值都满足λ³=1． (1)A²-2A-3E=(A-3E)(A+E)，3和-1都不满足λ³=1，因此都不是A的特征值．于是(A-3E)和(A+E)都可逆，从而A²-2A-3E可逆． (2)设A的全体特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n，则A²+A+2E的特征值λ_i²+λ_i+2，i=1，2，…，n．由于λ_i³=1，λ_i或者为1，或者满足λ_i²+λ_i+1=0．于是λ_i²+λ_i+2或者为4，或者为1，总之都不是0．因此A²+A+2E可逆．

解析

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