设A为n阶矩阵，证明二次型f(x1，x2，…，xn)=xTATAx正定的充要条件是r(A)=n．

admin2021-07-27 103

问题设A为n阶矩阵，证明二次型f(x₁，x₂，…，x_n)=x^TA^TAx正定的充要条件是r(A)=n．

选项

答案由正定二次型的定义，二次型f(x₁，x₂，…，x_n)=x^TA^TAx正定的充要条件是对于任意给定的n维非零列向量x≠0．总有(Ax)^TAx＞0，即Ax≠0．又对于任意给定的n维非零列向量x≠0，Ax≠0的充要条件是齐次线性方程组Ax=0仅有零解．即r(A)=n．从而，二次型f(x₁，x₂，…，x_n)=x^TA^TAx正定的充要条件是r(A)=n．

解析

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