设矩阵A＝相似于对角娃阵． (1)求a的值；(2)求一个正交变换，将二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ化为标准形，其中χ＝(χ1，χ2，χ3)T．

admin2019-08-12 60

问题设矩阵A＝

相似于对角娃阵．
(1)求a的值；(2)求一个正交变换，将二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝χ^TAχ化为标准形，其中χ＝(χ₁，χ₂，χ₃)^T．

选项

答案(1)A的特征值为6，6，－2，故由A可相似对角化知矩阵6E－A＝[*]的秩为1，[*]a＝0． (2)f＝χ^TAχ＝(χ^TAχ)＝χ^TAχ＝[*](χ^TAχ＋χ^TA^Tχ)＝χ^T[*]，故f的矩阵为[*](A＋A^T)＝[*]＝B，计算可得B的特征值为λ₁＝6，λ₂＝－3，λ₃＝7，对应的特征向量分别可取为ξ₁＝(0，0，1)^T，ξ₂＝(1，－1，0)^T，ξ₃＝(1，1，0)^T，故有正交矩阵 [*] 使得P^-1BP＝P^TBP＝diag(6，－3，7)，所以，在正交变换[*]下，可化厂成标准形f＝6y₁²－3y₂²＋7y₃²．

解析

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考研数学二

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设矩阵A＝相似于对角娃阵． (1)求a的值；(2)求一个正交变换，将二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ化为标准形，其中χ＝(χ1，χ2，χ3)T．

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