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[2006年] 设α1,α2,…,αs均为n维向量,A是m×n矩阵,下列选项正确的是( ).
[2006年] 设α1,α2,…,αs均为n维向量,A是m×n矩阵,下列选项正确的是( ).
admin
2021-01-19
29
问题
[2006年] 设α
1
,α
2
,…,α
s
均为n维向量,A是m×n矩阵,下列选项正确的是( ).
选项
A、若α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关,则Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性相关
B、若α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关,则Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性无关
C、若α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关,则Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性相关
D、若α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关,则Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性无关
答案
A
解析
可用线性相关定义证明,也可将Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
组成矩阵,进而得到矩阵A和矩阵[α
1
,α
2
,…,α
s
]的乘积形式,再利用命题2.2.3.1(10)求解.
解一 用定义求解.设c
1
α
1
+c
2
α
2
+…+c
s
α
s
=0,用A左乘等式两边得到
c
1
Aα
1
+c
2
Aα
2
+…+c
s
Aα
s
=0.
若α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关,则c
1
,c
2
,…,c
s
,为一组不全为零的数,由定义知Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性相关.仅(A)入选.
解二 题断或题设中出现Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
时,可考虑将它们构成两矩阵的乘积[Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
]=A[α
1
,α
2
,…,α
s
]=AB,其中B=[α
1
,α
2
,…,α
s
].由命题2.2.3.1(10)得到秩(AB)≤秩(B).
若α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关,则秩(α
1
,α
2
,…,α
s
)<s,因而
秩(AB)=秩(Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
)≤秩(B)=秩(α
1
,α
2
,…,α
s
)<s.
由命题2.3.2.1(2)知,Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性相关.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/PS84777K
0
考研数学二
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