[2006年] 设α1，α2，…，αs均为n维向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是( )．

admin2021-01-19 29

问题 [2006年] 设α₁，α₂，…，α_s均为n维向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是( )．

选项 A、若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关
B、若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性无关
C、若α₁，α₂，…，α_s线性无关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关
D、若α₁，α₂，…，α_s线性无关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性无关

答案A

解析  可用线性相关定义证明，也可将Aα₁，Aα₂，…，Aα_s组成矩阵，进而得到矩阵A和矩阵[α₁，α₂，…，α_s]的乘积形式，再利用命题2．2．3．1(10)求解．
解一  用定义求解．设c₁α₁+c₂α₂+…+c_sα_s=0，用A左乘等式两边得到
c₁Aα₁+c₂Aα₂+…+c_sAα_s=0．
若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则c₁，c₂，…，c_s，为一组不全为零的数，由定义知Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关．仅(A)入选．
解二  题断或题设中出现Aα₁，Aα₂，…，Aα_s时，可考虑将它们构成两矩阵的乘积[Aα₁，Aα₂，…，Aα_s]=A[α₁，α₂，…，α_s]=AB，其中B=[α₁，α₂，…，α_s]．由命题2．2．3．1(10)得到秩(AB)≤秩(B)．
若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则秩(α₁，α₂，…，α_s)＜s，因而
秩(AB)=秩(Aα₁，Aα₂，…，Aα_s)≤秩(B)=秩(α₁，α₂，…，α_s)＜s．
由命题2．3．2．1(2)知，Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关．

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考研数学二

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