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[2006年] 设α1，α2，…，αs均为n维向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是( )．
[2006年] 设α1，α2，…，αs均为n维向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是( )．
admin
2021-01-19
84
问题
[2006年] 设α
1
，α
2
，…，α
s
均为n维向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是( )．
选项
A、若α
1
，α
2
，…，α
s
线性相关，则Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
线性相关
B、若α
1
，α
2
，…，α
s
线性相关，则Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
线性无关
C、若α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，则Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
线性相关
D、若α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，则Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
线性无关
答案
A
解析
可用线性相关定义证明，也可将Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
组成矩阵，进而得到矩阵A和矩阵[α
1
，α
2
，…，α
s
]的乘积形式，再利用命题2．2．3．1(10)求解．
解一 用定义求解．设c
1
α
1
+c
2
α
2
+…+c
s
α
s
=0，用A左乘等式两边得到
c
1
Aα
1
+c
2
Aα
2
+…+c
s
Aα
s
=0．
若α
1
，α
2
，…，α
s
线性相关，则c
1
，c
2
，…，c
s
，为一组不全为零的数，由定义知Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
线性相关．仅(A)入选．
解二 题断或题设中出现Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
时，可考虑将它们构成两矩阵的乘积[Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
]=A[α
1
，α
2
，…，α
s
]=AB，其中B=[α
1
，α
2
，…，α
s
]．由命题2．2．3．1(10)得到秩(AB)≤秩(B)．
若α
1
，α
2
，…，α
s
线性相关，则秩(α
1
，α
2
，…，α
s
)＜s，因而
秩(AB)=秩(Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
)≤秩(B)=秩(α
1
，α
2
，…，α
s
)＜s．
由命题2．3．2．1(2)知，Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
线性相关．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/PS84777K
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